Riemannin integraali

Olkoon ${\displaystyle D_{n}}$ välin ${\displaystyle [a,b]}$ jako, ja jono

${\displaystyle \xi ^{n}=(\xi _{1}^{n},\ldots ,\xi _{k_{n}}^{n})}$

sellainen, että ${\displaystyle \xi _{i}^{n}\in [x_{i-1}^{n},x_{i}^{n}]}$ kaikilla ${\displaystyle 1\leq i\leq k_{n}}$.

Olkoon ${\displaystyle f}$ funktio ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$. Funktion ${\displaystyle f}$ jakoa ${\displaystyle D_{n}}$ pisteissä ${\displaystyle \xi ^{n}}$ vastaava Riemannin summa on

${\displaystyle S_{D_{n}}(f,\xi ^{n})=\sum _{i=1}^{k_{n}}f(\xi _{i}^{n})(x_{i}^{n}-x_{i-1}^{n})}$.

Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on ${\displaystyle x_{i}^{n}-x_{i-1}^{n}}$ ja korkeus ${\displaystyle f(\xi _{i}^{n})}$. Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ voidaan kaikille tiheneville jakojonoille ${\displaystyle (D_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ valita pisteet ${\displaystyle (\xi ^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ siten, että vastaava Riemannin summien jono ${\displaystyle (S_{D_{n}}(1_{\mathbb {Q} },\xi ^{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$ ei suppene.

Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden ${\displaystyle \xi ^{n}}$ valinnasta.

Olkoon jakojen jono ${\displaystyle (D_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tihenevä ja ${\displaystyle |D_{n}|\rightarrow 0}$, kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä ${\displaystyle [a,b]}$. Sanotaan, että funktion ${\displaystyle f}$ Riemannin summilla on raja-arvo ${\displaystyle S\in \mathbb {R} }$, jos jokaiselle luvulle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ on olemassa luvut ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }>0}$ ja ${\displaystyle n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }$ siten, että

${\displaystyle |S_{D_{n_{\varepsilon }}}(f,\xi ^{n_{\varepsilon }})-S|<\varepsilon }$, kun ${\displaystyle |D_{n_{\varepsilon }}|<\delta _{\varepsilon }}$,

ja ${\displaystyle S}$ on yksikäsitteinen kaikilla jonolla ${\displaystyle \xi ^{n_{\varepsilon }}}$. Jos Riemannin summilla on raja-arvo ${\displaystyle S}$, niin funktio ${\displaystyle f}$ on Riemann-integroituva välillä ${\displaystyle [a,b]}$ ja sen Riemannin integraali on luku ${\displaystyle S}$. Tällöin merkitään

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

Tässä merkintätavassa funktiota ${\displaystyle f}$ kutsutaan integrandiksi.

Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.

Olkoon ${\displaystyle f}$ reaalifunktio ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$. Funktion ${\displaystyle f}$ Darboux'n yläsumma jaolla ${\displaystyle D_{n}}$ on

${\displaystyle S_{D_{n}}(f)=\sum _{i=1}^{k_{n}}(x_{i}^{n}-x_{i-1}^{n})\sup\{f(x)\,|\,x_{i-1}^{n}\leq x\leq x_{i}^{n}\}}$.

Vastaava Darboux'n alasumma on

${\displaystyle s_{D_{n}}(f)=\sum _{i=1}^{k_{n}}(x_{i}^{n}-x_{i-1}^{n})\inf\{f(x)\,|\,x_{i-1}^{n}\leq x\leq x_{i}^{n}\}}$.

Olkoon jakojen jono ${\displaystyle (D_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tihenevä ja ${\displaystyle |D_{n}|\rightarrow 0}$, kun ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot ${\displaystyle (S_{D_{n}}(f))_{n\in \mathbb {N} }}$ ja ${\displaystyle (s_{D_{n}}(f))_{n\in \mathbb {N} }}$, monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku

${\displaystyle \inf _{n\rightarrow \infty }S_{D_{n}}(f)}$.

Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku

${\displaystyle \sup _{n\rightarrow \infty }s_{D_{n}}(f)}$.

Funktio ${\displaystyle f}$ on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli

${\displaystyle \inf _{n\rightarrow \infty }S_{D_{n}}(f)=\sup _{n\rightarrow \infty }s_{D_{n}}(f)}$.

Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion ${\displaystyle f}$ Darboux'n integraaliksi yli välin ${\displaystyle [a,b]}$.

Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos ${\displaystyle f}$ on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin

${\displaystyle \inf _{n\rightarrow \infty }S_{D_{n}}(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sup _{n\rightarrow \infty }s_{D_{n}}(f)}$.

Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.

Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös ${\displaystyle U_{f}(P)}$ ja ${\displaystyle L_{f}(P)}$, joissa P on välin jako.

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko ${\displaystyle A}$ sellainen, että ${\displaystyle [a,b]\subset A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g}$ reaalifunktio ${\displaystyle A\rightarrow \mathbb {R} }$ ja ${\displaystyle g_{[a,b]}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ sen rajoittuma välille ${\displaystyle [a,b]}$. Jos ${\displaystyle g_{[a,b]}}$ on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että ${\displaystyle g}$ on Riemann-integroituva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, ja funktion ${\displaystyle g}$ Riemannin integraaliksi yli välin ${\displaystyle [a,b]}$ määritellään

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=\int _{a}^{b}g_{[a,b]}(x)\,dx}$.

Lisäksi määritellään

${\displaystyle \int _{a}^{a}g(x)\,dx=0}$

ja

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=-\int _{b}^{a}g(x)\,dx}$.

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.

Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.

Olkoon funktio ${\displaystyle f:\ [a,b[\rightarrow \mathbb {R} }$ Riemann-integroituva kaikilla väleillä ${\displaystyle [a,c]\subset [a,b[}$. Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo

${\displaystyle \lim _{c\rightarrow b-}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$

on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion ${\displaystyle f}$ epäoleellinen integraali yli välin ${\displaystyle [a,b]}$ on

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\rightarrow b-}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$.

Funktiolle ${\displaystyle ]a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.

Olkoon funktio ${\displaystyle f:\ [a,\infty [\rightarrow \mathbb {R} }$ Riemann-integroituva kaikilla väleillä ${\displaystyle [a,c]\subset [a,\infty [}$. Jos raja-arvo

${\displaystyle \lim _{c\rightarrow \infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$

on olemassa, niin funktion ${\displaystyle f}$ epäoleellinen integraali yli välin ${\displaystyle [a,\infty [}$ on

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{c\rightarrow \infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$.

Samoin määritellään funktiolle ${\displaystyle g:\ ]-\infty ,a]\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\rightarrow -\infty }\int _{c}^{a}f(x)\,dx}$.

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.

• Jos${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin ${\displaystyle \int _{a}^{c}f\,dx=\int _{a}^{b}f\,dx+\int _{b}^{c}f\,dx}$
• Jos${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin ${\displaystyle \int _{-a}^{a}f\,dx=2\int _{0}^{a}f\,dx,{\mbox{kun }}f(-x)=f(x)}$ kaikilla ${\displaystyle x\in ]}$min${\displaystyle \{a,b\},}$max${\displaystyle \{a,b\}[}$
• Jos${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin ${\displaystyle \int _{-a}^{a}f\,dx=0,{\mbox{kun }}f(-x)=-f(x)}$ kaikilla ${\displaystyle x\in ]}$min${\displaystyle \{a,b\},}$max${\displaystyle \{a,b\}[}$

Jos funktio ${\displaystyle f}$ on Riemann-integroituva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, niin

${\displaystyle \inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \sup _{x\in [a,b]}f(x)}$.

Jos ${\displaystyle f}$ on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, niin on olemassa sellainen ${\displaystyle \xi \in ]a,b[}$, että

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )}$.

Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.

Jos funktiot ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat Riemann-integroituvia välillä ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle g\geq 0}$ ja

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx>0}$,

niin

${\displaystyle \inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq \sup _{x\in [a,b]}f(x)}$.

Jos ${\displaystyle f}$ on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, niin on olemassa sellainen ${\displaystyle \xi \in ]a,b[}$, että

${\displaystyle {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}=f(\xi )}$.

Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.

Olkoon ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jono Riemann-integroituvia funktioita ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$.

Jos ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,dx}$.

Jos sarja

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{k}f_{n}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$

suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

${\displaystyle \int _{a}^{b}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx}$.

Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos ${\displaystyle f}$ on välillä ${\displaystyle [a,b]}$ jatkuva funktio ja ${\displaystyle F}$ jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$.

Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1+\cos 2t)\,dt}$

arvo. Koska funktiolle

${\displaystyle F(t)=t+{\frac {1}{2}}\sin 2t}$

pätee

${\displaystyle F'(t)=1+\cos 2t}$,

niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1+\cos 2t)\,dt}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle F\left({\frac {\pi }{2}}\right)-F(0)}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\sin \pi \right)-\left(0+{\frac {1}{2}}\sin 0\right)}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Olkoon ${\displaystyle f}$ jatkuva funktio reaalivälillä ${\displaystyle [a,b]}$. Jos ${\displaystyle x}$ funktio ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\rightarrow [a,b]}$, jonka derivaatta on jatkuva ja jolle ${\displaystyle x(\alpha )=a}$ ja ${\displaystyle x(\beta )=b}$, niin

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(x(t))x'(t)\,dt}$

Tässä siis muuttujan ${\displaystyle x}$ tilalle sijoitetaan muuttujan ${\displaystyle t}$ kuvaus ${\displaystyle x(t)}$, eli identtisen kuvauksen ${\displaystyle x\mapsto x}$ tilalle sijoitetaan kuvaus ${\displaystyle t\mapsto x(t)}$. Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus ${\displaystyle x}$ ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.

Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}$

laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa.

Sijoitetaan muuttujan ${\displaystyle x}$ tilalle kuvaus ${\displaystyle t\mapsto \sin(t)}$. Nyt edellä olevan kaavan merkinnöin

• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$
• ${\displaystyle a=0}$ ja ${\displaystyle b=1}$
• ${\displaystyle x(t)=\sin(t)}$.

Koska

${\displaystyle \sin(0)=0=a}$ ja ${\displaystyle \sin(\pi /2)=1=b}$,

rajoiksi saadaan

${\displaystyle \alpha =0}$ ja ${\displaystyle \beta =\pi /2}$

Sijoittamalla nämä arvot ja ${\displaystyle x'(t)=\cos(t)}$ muuttujanvaihtokaavaan, saadaan

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\ \cos t\,dt}$

Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Koska ${\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1}$ saadaan:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}t}}\cos t\,dt&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos ^{2}t}}\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}|\cos t|\cos t\,dt\end{aligned}}}$

Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}|\cos t|\cos t\,dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}t\,dt}$

Sijoittamalla ${\displaystyle \cos ^{2}t=1/2(1+\cos 2t)}$ seuraa:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1+\cos 2t)\,dt}$

Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1+\cos 2t)\,dt={\frac {\pi }{4}}}$

Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ derivoituvia sekä derivaatat ${\displaystyle f'}$ ja ${\displaystyle g'}$ Riemann-integroituvia välillä ${\displaystyle [a,b]}$. Tällöin

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$

Lasketaan Riemannin integraali osittaisintegroinnilla. On annettu integraali:

${\displaystyle \int _{1}^{2}\ln x\,dx}$

Valitaan osittaisintegrointikaavassa

• ${\displaystyle \displaystyle f=\ln x}$
• ${\displaystyle \displaystyle g=x}$

Tällöin

• ${\displaystyle \displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle g'(x)=1}$

Osittaisintegrointikaavan mukaan:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{2}\ln x\cdot 1\,dx&=\ln 2\cdot 2-\ln 1\cdot 1-\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\cdot x\,dx\\&=2\ln 2-0-(2-1)\\&=2\ln 2-1\end{aligned}}}$

Tasokuvion, joka jää suorien ${\displaystyle x=a}$ ja ${\displaystyle x=b}$ sekä x-akselin ja jatkuvan funktion ${\displaystyle f:\ [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ kuvaajan ${\displaystyle y=f(x)}$ sisäpuolelle, pinta-ala on

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

Funktion f kuvaaja sinisellä, funktion g kuvaaja punaisella ja niiden väliin jäävä tasokuvio vaaleansinisellä

Yleisemmin, jos ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat jatkuvia funktioita ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ ja ${\displaystyle f>g}$, niin niiden kuvaajien sekä suorien ${\displaystyle x=a}$ ja ${\displaystyle x=b}$ väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx}$.

Pääartikkeli: Käyrän pituus

Olkoon ${\displaystyle f}$ tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a,b\right]&\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\\t&\mapsto (x(t),\,y(t))\end{aligned}}}$

,missä ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat kuvauksia ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä ${\displaystyle [a,b]}$. Tällöin käyrän ${\displaystyle f}$ pituus on:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt}$

Jos ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ on jatkuva funktio, niin suorien ${\displaystyle x=a}$ ja ${\displaystyle x=b}$ ja käyrän ${\displaystyle y=f(x)}$ x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\,dx}$.

Jos ${\displaystyle f}$ on funktio ${\displaystyle [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$, joka on positiivinen välillä ${\displaystyle ]a,b[}$ ja jonka derivaatta on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, niin käyrän ${\displaystyle y=f(x)}$ pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$.