Luku

Tutuimmat luvut ovat luonnolliset luvut, joilla voidaan ilmaista lukumääriä: yksi, kaksi, kolme ja niin edelleen. Vanhastaan luonnollisten lukujen on katsottu alkavan 1:stä, eikä nollaa vanhalla ajalla edes pidetty lukuna. Kuitenkin 1800-luvulta lähtien on varsinkin joukko-opissa ja muillakin matematiikan aloilla tullut tavaksi lukea myös nolla luonnollisten lukujen joukkoon, jotta jokaisen äärellisen joukon alkioiden lukumäärä eli kardinaliteetti voidaan ilmaista luonnollisella luvulla (tyhjän joukon kardinaliteetti on nolla). Nykyään luonnollisten lukujen joukko saatetaan eri yhteyksissä määritellä vaihdellen siten, että nolla joko luetaan siihen kuuluvaksi tai ei. Luonnollisten lukujen joukon symbolina käytetään kirjainta N, usein myös kirjoitettuna muotoon ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Kymmenjärjestelmässä, jota nykyään käytetään lähes kaikkialla maailmassa, jokainen luonnollinen luku voidaan merkitä paikkamerkinnän mukaisesti käyttämällä vain kymmentä numeromerkkiä: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9.

Aksiomaattisessa joukko-opissa luonnolliset luvut voidaan määritellä yhtä mahtavien äärellisten joukkojen ekvivalenssiluokiksi.[2] Esimerkiksi luku 3 voidaan käsittää kaikkien niiden joukkojen luokaksi, joissa on kolme alkiota. Vaihtoehtoisesti luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla, jolloin luku 3 on sss0, missä s merkitsee "seuraaja"-funktiota (toisin sanoen 3 on luvun 0 kolmas seuraaja).

Luvun vastaluku määritellään luvuksi, joka lisättynä annettuun lukuun antaa summaksi nollan. Positiivisen luvun vastaluku on negatiivinen luku. Kokonaislukujen joukko saadaan luonnollisten lukujen joukosta lisäämällä siihen jokaisen luvun vastaluku. Luvun vastaluku merkitään lisäämällä sen eteen miinusmerkki (−), esimerkiksi luvun 7 vastaluku on −7, ja 7 + (−7) = 0.

Kokonaislukujen joukon symbolina käytetään kirjainta Z, usein kirjoitettuna muotoon ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Kokonaislukujen joukon perään voi merkitä + tai − merkitsemään positiivisia tai negatiivisia kokonaislukuja.

Kokonaisluvut muodostavat algebrallisessa mielessä renkaan, jossa kahdelle luvulle on aina määritelty yhteen-, vähennys- ja kertolasku.

Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuina, joissa osoittaja on kokonaisluku, ja nimittäjä nollasta eroava luonnollinen luku. Murtoluvut merkitään kirjoittamalla osoittaja ja nimittäjä allekkain sekä niiden väliin viiva. Murtoluvussa ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ eli m/n osoittaja m tarkoittaa yhtä suurten murto-osien lukumäärää ja nimittäjä n sitä määrää tällaisia murto-osia, jotka yhdessä muodostavat luvun 1. Sama rationaaliluku voidaan esittää murtolukuna usealla eri tavalla, esimerkiksi ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ja ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ ovat yhtä suuret, toisin sanoen:

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.\,}$

Jos osoittajan m itseisarvo m on suurempi kuin n, on murtoluvun itseisarvo suurempi kuin 1. Murtoluvut voivat olla positiivisia, negatiivisia tai nolla. Rationaalilukujen joukkoon sisältyvät myös kokonaisluvut, sillä jokainen kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1. Esimerkiksi luku −7 voidaan esittää murtolukuna ${\displaystyle {\frac {-7}{1}}}$. Rationaalilukujen joukkojen symboli on Q, joka usein kirjoitetaan myös muodossa ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Algebrallisessa mielessä rationaaliluvut muodostavat kunnan.

Reaalilukuja ovat kaikki lukusuoralle sijoittavat luvut. Ne kirjoitetaan yleensä desimaalilukuina, joissa desimaalipilkku (useissa maissa desimaalipiste) erottaa toisistaan kokonaisosan ja ykköstä pienemmät yksiköt.

Desimaalipilkun oikealla puolella kunkin numeron paikka-arvo on kymmenesosa edellisen paikka-arvosta. Niinpä esimerkiksi luku 123,456 tarkoittaa: 1 sata, 2 kymmentä, 3 ykköstä, 4 kymmenesosaa, 5 sadasosaa ja 6 tuhannesosaa. Negatiivisen reaaliluvun alkuun kirjoitetaan miinusmerkki.

Jokainen rationaaliluku on samalla reaaliluku. Kääntäen ei kuitenkaan jokainen reaaliluku ole rationaaliluku. Reaalilukuja, joita ei voi esittää murtolukuina, sanotaan irrationaaliluvuiksi. Jokainen reaaliluku, joka desimaalilukuna on joko päättyvä taikka päättymätön mutta jaksollinen, on rationaaliluku, mutta päättymättömät jaksottomat desimaaliluvut ovat irrationaalilukuja. Niinpä esimerkiksi 1/2 on desimaalilukuna 0,5 (tasan), 1/3 = 0,333... ja 1/11 = 0,0909..., missä samat numerot toistuvat loppumattomasti Sen sijaan esimerkiksi reaaliluku π, pii, on :${\displaystyle \pi =3,14159265358979\dots .\,}$, missä mikään numerosarja ei sellaisenaan toistu säännöllisesti. Irrationaalilukuja ovat myös esimerkiksi kokonaislukujen neliöjuuret, elleivät ne ole kokonaislukuja; niinpä

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1,41421356237\dots \,}$

Reaalilukujen joukossa on voimassa täydellisyysaksiooma: jokaisella ylhäältä rajoitella osajoukolla on pienin yläraja eli supremum.

Reaalilukujen joukon symbolina käytetään kirjainta R, usein muodossa ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Reaalilukuja käytetään mittaustulosten ilmoittamiseen, mutta tällöin on aina otettava huomioon mittauksen virhemarginaali. Tämä otetaan yleensä huomioon pyöristämällä luku siten, että numerot, jotka viittaavat suurempaan kuin käytettävissä olevaan tarkkuuteen, jätetään pois. Tällöin jäljelle jääviä numeroita sanotaan merkitseviksi numeroiksi. Esimerkiksi viivoittimella ei pituuksia yleensä voida mitata tarkemmin kuin millimetrin tarkkuudella. Niinpä jos suorakulmion sivuiksi saadaan mittaamalla 1,23 ja 4,56 metriä, kertoluku antaa näiden tuloksi 5,6088 neliömetriä, mutta koska vain kaksi ensimmäistä numeroa desimaalipilkun jäljessä ovat merkitseviä, tulos pyöristetään yleensä muotoon 5,61 m².

Abstraktissa algebrassa voidaan osoittaa, että jokainen täydellinen järjestetty kunta on isomorfinen reaalilukujen kanssa. Reaaliluvut eivät kuitenkaan muodosta algebrallisesti suljettua kuntaa.

Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän i. Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa

${\displaystyle \,a+bi}$

olevat luvut, missä a ja b ovat reaalilukuja. Merkinnässä a + bi lukua a sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua b sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan puhtaasti imaginaariseksi. Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.

Kompleksilukujen joukolle käytetään merkintää C, usein myös muodossa ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Abstraktissa algebrassa kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti suljetun kunnan. Reaalilukujen tavoin nekin muodostavat kunnan, mutta niissä ei ole järjestysrelaatiota, toisin sanoen kahdesta kompleksiluvusta ei voida yleensä sanoa, kumpi niistä on suurempi.

Kompleksilukuja ei voi sijoittaa lukusuoralle, mutta ne voidaan asettaa vastaamaan tason pisteitä. Tällöin jokaista kompleksilukua a + bi vastaa tason piste (a, b). Tällä tavoin käsiteltyä tasoa sanotaan kompleksitasoksi.

Reaali- ja kompleksiluvut voidaan jakaa algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuihin. Luku on algebrallinen, jos se on jonkin sellaisen polynomiyhtälön ratkaisu, jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Algebrallisia lukuja ovat esimerkiksi kaikki rationaaliluvut sekä kaikki niistä juurenotolla saadut luvut. Transkendenttisiksi on voitu osoittaa muun muassa pii sekä Neperin luku e.

Jokainen edellä mainituista lukualueista on kaikkien seuraavien aito osajoukko. Matemaattisia merkintöjä käyttäen tämä voidaan ilmaista seuraavasti: ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.