Luettelo matemaattisista merkeistä

Seuraavassa taulukossa on matematiikassa usein käytettyjä symboleja.

Matematiikan perussymbolit

Symboli Nimi Selitys Esimerkkejä
Luetaan
Kategoria
=
yhtäsuuruus x = y tarkoittaa, että x ja y esittävät samaa asiaa tai arvoa. 1 + 1 = 2
on yhtä suuri kuin
kaikkialla


<>

!=
erisuuruus x y tarkoittaa, että x ja y eivät esitä samaa asiaa tai arvoa.

(Symboleita != ja <> käytetään lähinnä tietojenkäsittelytieteessä.)
1 ≠ 2
ei ole yhtä suuri kuin, on eri suuri kuin
kaikkialla
<

>



aito epäyhtälö x < y tarkoittaa, että x on pienempi kuin y.

x > y tarkoittaa, että x on suurempi kuin y.

x y tarkoittaa, että x on paljon pienempi kuin y.

x y tarkoittaa, että x on paljon suurempi kuin y.
3 < 4
5 > 4.

0.003 ≪ 1000000

on pienempi kuin, on suurempi kuin, on paljon pienempi kuin, on paljon suurempi kuin
järjestysteoria


epäyhtälö x y tarkoittaa, että x on pienempi tai yhtä suuri kuin y.

x y tarkoittaa, että x on suurempi tai yhtä suuri kuin y.
3  4 ja 5  5
5  4 ja 5  5
on pienempi tai yhtä suuri kuin, on suurempi tai yhtä suuri kuin
järjestysteoria
verrannollisuus yx tarkoittaa, että y = kx jollakin vakiolla k. jos y = 2x, on yx
on verrannollinen
kaikkialla
+
yhteenlasku 4 + 6 tarkoittaa lukujen 4 ja 6 summaa. 2 + 7 = 9
plus
aritmetiikka
erillinen yhdiste A1 + A2 tarkoittaa joukkojen A1 ja A2 erillistä yhdistettä. A1 = {1, 2, 3, 4} ∧ A2 = {2, 4, 5, 7} ⇒
A1 + A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)}
joukkojen ... ja ... erillinen yhdiste
joukko-oppi
vähennyslasku 9 4 tarkoittaa 4 vähenettynä luvusta 9. 8 3 = 5
miinus
aritmetiikka
negatiivinen etumerkki 3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua. (5) = 5
vastaluku ; miinus
aritmetiikka
joukko-opillinen komplementti A  B tarkoittaa niitä A:n alkioita, jotka eivät kuulu joukkoon B. {1,2,4}  {1,3,4}  =  {2}
miinus.
joukko-oppi
×
kertolasku 3 × 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 × 8 = 56
kertaa
aritmetiikka
karteesinen tulo X×Y tarkoittaa kaikkia järjestettyjen parien joukkoa, joiden ensimmäinen alkio kuuluu X:ään ja toinen Y:hyn. {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
Joukkojen ... ja ... karteesinen tulo; joukkojen ... ja ... suora tulo
joukko-oppi
ristitulo u × v tarkoittaa vektorien u ja v ristituloa. (1,2,5) × (3,4,1) =
(22, 16, 2)
risti
vektorilaskenta
·
kertolasku 3 · 4 tarkoittaa lukujen 3 ja 4 tuloa. 7 · 8 = 56
kertaa
aritmetiikka
pistetulo u · v tarkoittaa vektorien u ja v pistetulos (1,2,5) · (3,4,1) = 6
piste
vektorilaskenta
÷

jakolasku 6 ÷ 3 tai 6 3 tarkoittaa 6 jaettuna 3:lla 2 ÷ 4 = .5

12 4 = 3
jaettuna
aritmetiikka
±
plus-miinus 6 ± 3 tarkoittaa sekä 6 + 3 että 6 - 3. yhtälöllä x = 5 ± √4, on kaksi ratkaisua, x = 7 tai x = 3.
plus tai miinus
aritmetiikka
plus-miinus 10 ± 2 tai yhtäpitävästi 10 ± 20% tarkoittaa väliä 10 2=8:sta 10 + 2=12:een. Jos a = 100 ± 1 mm, on a 99 mm ja 101 mm.
plus tai miinus
mittaus
miinus-plus 6 ± (3 5) tarkoittaa sekä 6 + (3 - 5) että 6 - (3 + 5). cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y).
miinus tai plus
aritmetiikka
neliöjuuri x tarkoittaa epänegatiivista lukua, jonka neliö on x. √4 = 2
neliöjuuren päähaara, neliöjuuri
reaaliluvut
kompleksinen neliöjuuri jos z = r exp(iφ) esitetään napakoordinaateissa, missä -π < φπ, on √z = √r exp(i φ/2). √(-1) = i
kompleksinen neliöjuuri  

neliöjuuri
kompleksiluvut
|…|
itseisarvo |x| tarkoittaa reaaliakselilla tai kompleksitasolla lukujen x ja 0 välistä etäisyyttä. |3| = 3

|–5| = |5|

| i | = 1

| 3 + 4i | = 5
itseisarvo
luvut
Euklidinen etäisyys |x  y| tarkoittaa x:n ja y:n euklidista etäisyyttä. Jos x = (1,1) ja y = (4,5),
|x  y| = √([1–4]2 + [1–5]2) = 5
euklidinen etäisyys, euklidinen normi
geometria
Determinantti |A| tarkoittaa neliömatriisin A determinanttia
determinantti
Matriisilaskenta
|
jakaa Yksi pystysuora viiva tarkoittaa tasan jakamista.
a|b tarkoittaa, että a jakaa b:n.
Koska 15 = 3×5, on voimassa 3|15 ja 5|15.
jakaa
lukuteoria
!
kertoma n ! on tulo 1 × 2× ... × n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
kertoma
kombinatoriikka
T
transpoosi Vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään
transpoosi
matriisilaskenta
~
todennäköisyysjakaumat X ~ D, tarkoittaa satunnaismuuttujan X jakauma on D. X ~ N(0,1), on standardinormaalijakauma
on jakauma
tilastotiede
Riviekvivalenssi A~B tarkoittaa, että B voidaan saada A:stä alkeisrivitoimituksella.
on riviekvivalentti
Matriisilaskenta




implikaatio AB tarkoittaa, että jos A on tosi, on myös B tosi. Jos A on epätosi, B:stä ei voida sanoa tämän perusteella mitään.

→ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒ tai sillä voi olla kohdassa funktio selitetty merkitys.

⊃ voi tarkoittaa samaa kuin ⇒, tai se voi tarkoittaa yläluokkaa.
x = 2    x2 = 4 on totta, mutta x2 = 4     x = 2 on epätotta, koska x voi olla myös 2.
seuraa; jos … niin
propositionaalilogiikka, Heytingin algebra


ekvivalenssi A B tarkoittaa, että A on tosi jos ja vain jos B on tosi x + 5 = y +2    x + 3 = y
jos ja vain jos, joss
propositionaalilogiikka
¬

˜
looginen negaatio Väite ¬A on tosi jos ja vain jos A on epätosi.

¬(¬A) A
x  y    ¬(x =  y)
ei
propositiologiikka
looginen konjuktio tai kohtaa lattiisissa Väite AB on totta jos A ja B ovat molemmat totta. Muutoin AB on epätosi.

Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∧ B(x) tarkoittaa min(A(x), B(x)).
n < 4    n >2    n = 3 kun n on luonnollinen luku.
ja; min
propositiologiikka, lattiisiteoria
potenssi 6^4 tarkoittaa 6 potenssiin 4 6 ^ 4 = 1296
looginen disjunktio tai yhdiste lattiisissa Väite AB on totta jos ainakin toinen A tai B on totta, epätotta jos molemmat epätosia.

Funktioille A(x) ja B(x), A(x) ∨ B(x) tarkoittaa max(A(x), B(x)).
n ≥ 4    n ≤ 2  n ≠ 3 kun n on luonnollinen luku.
tai; max
propositiologiikka, lattiisiteoria



eksklusiivinen tai Väite AB on tosi kun joko A tai B, mutta ei molemmat, ovat tosia. AB tarkoittaa samaa asiaa. A) ⊕ A on aina tosi, AA on aina epätosi.
xor
propositionaalilogiikka, Boolen algebra
suora summa Suora summa on tapa yhdistää useita objekteja yhdeksi yleiseksi objektiksi. Suoran summan merkintä on ⊕, merkintää ⊻ käytetään vain logiikassa.

Vektoriavaruuksille U, V ja W pätee:
U = VW ⇔ (U = V + W) ∧ (VW = )
suora summa
abstrakti algebra
universaalikvanttori  x: P(x) tarkoittaa, että P(x) on voimassa kaikilla x.  n ∈ ℕ: n2 n.
kaikilla, jokaisella
predikaattilogiikka
olemassaolokvanttori  x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa ainakin yksi x jolle P(x) on tosi.  n ∈ ℕ: n on parillinen.
on olemassa
predikaattilogiikka
!
yksikäsitteisyyskvanttori ! x: P(x) tarkoittaa, että on olemassa täsmälleen yksi x jolle P(x) on tosi. ! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.
on olemassa täsmälleen yksi
predikaattilogiikka
:=



:⇔
määritelmä x := y tai x y tarkoittaa, että x on määritelmän mukaan y

(jotkut käyttävät merkkiäkongruenssi).

P :⇔ Q tarkoittaa, että P on määritelmän mukaan loogisesti ekvivalentti Q:n kanssa.
cosh x := (1/2)(exp x + exp (x))

A xor B :⇔ (A  B)  ¬(A  B)
on määritelmän mukaan
kaikkialla
yhtenevä △ABC ≅ △DEF tarkoittaa, että kolmio ABC on yhtenevä kolmion DEF kanssa.
on yhtenevä
geometria
kongruenssirelaatio a ≡ b (mod n) tarkoittaa, että a − b on jaollinen n:llä () 13 ≡ 3 (mod 5)
... on kongruentti ... modulo ...
modulaariaritmetiikka
{ , }
joukkosulkeet {a,b,c} tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat a, b ja c.  = { 1, 2, 3, …}
joukko …
joukko-oppi
{ : }

{ | }
joukko ja ehto mitkä alkiot kuuluvat joukkoon {x : P(x)} tarkoittaa niitä x joille P(x) on tosi. {x | P(x)} on sama kuin{x : P(x)}. {n ∈ ℕ : n2 < 20} = { 1, 2, 3, 4}
joukko … jolle
joukko-oppi


{ }
tyhjä joukko tarkoittaa joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota. { } tarkoittaa samaa. {n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} =
tyhjä joukko
joukko-oppi


joukkoon kuuluvuus relaatio a S tarkoittaa, että a on S:n alkio S; a S tarkoittaa, että a ei kuulu S:ään. (1/2)1 ∈ ℕ

21 ∉ ℕ
kuuluu joukkoon, ei kuulu joukkoon
kaikkialla, joukko-oppi


osajoukko (subset) A  B tarkoittaa, että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio.

(aito osajoukko) A  B tarkoittaa A  B mutta A  B.

(Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊂ ja ⊆ välillä.)
(A  B)  A

  

  
on osajoukko
joukko-oppi


yläjoukko A  B tarkoittaa, että jokainen B:n alkio on myös A:n alkio.

A  B tarkoittaa, että A  B mutta A  B.

(Jotkut matemaatikot eivät tee eroa symbolien ⊃ ja ⊇ välillä.)
(A B) ⊇ B

  
on yläjoukko
joukko-oppi
joukko-opillinen yhdiste eksklusiivinen A  B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot tai kaikki B:n alkiot, mutta ei molempia.
"A tai B, mutta ei molempia."

inklusiivinen A  B tarkoittaa joukkoa, joka sisältää kaikki A:n alkiot, kaikki B:n alkiot tai kaikki molempien joukkojen alkiot.
"A tai B tai molemmat".
A  B    (A  B) = B (inclusive)
joukkojen … ja … yhdiste

joukko-oppi
joukko-opillinen leikkaus A  B koostuu niistä alkioista, jotka sisältyvät sekä A:han että B:hen. {x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}
leikkaa
joukko-oppi
symmetrinen erotus tarkoittaa joukkoa, jonka kukin alkio kuuluu täsmälleen toiseen joukoista A ja B. {1,5,6,8} {2,5,8} = {1,2,6}
symmetrinen erotus
joukko-oppi
joukko-opillinen komplementti A B tarkoittaa joukkoa, joka koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät kuulu B:hen. {1,2,3,4} ∖ {3,4,5,6} = {1,2}
miinus
joukko-oppi
( )
funktion parametrit f(x) tarkoittaa funktion f arvoa kohdassa x. Jos f(x) := x2, on f(3) = 32 = 9.
joukko-oppi
Laskujärjestyksen muuttaminen Sulkeet lasketaan järjestyksessä sisimmästä uloinpaan. (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4.
sulkeet
kaikkialla
f:XY
funktionuoli f: X Y tarkoittaa funktiota f, joka kuvaa joukon X joukolle Y. Määritellään f:  → ℕ asettamalla f(x) := x2.
joukolta … joukolle …
joukko-oppi,tyyppiteoria
o
yhdistetty funktio fog on funktio, jolle (fog)(x) = f(g(x)). jos f(x) := 2x, ja g(x) := x + 3, on (fog)(x) = 2(x + 3).
yhdiste
joukko-oppi


N
Luonnolliset luvut N tarkoittaa määritelmästä riippuen joukkoa { 1, 2, 3, ...} tai joukkoa { 0, 1, 2, ...}.  = {|a| : a ∈ ℤ, a 
N
luvut


Z
kokonaisluvut ℤ on joukko {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...} ja ℤ+ on joukko {1, 2, 3, ...} .  = {p, -p : p ∈ ℕ}  {0}
Z
luvut


Q
rationaaliluvut ℚ tarkoittaa joukkoa {p/q : p  ℤ, q  +}. 3.14000... ∈ ℚ

π ∉ ℚ
Q
luvut


R
reaaliluvut ℝ tarkoittaa reaalilukujen joukkoa. π ∈ ℝ

√(1)  
R
luvut


C
kompleksiluvut ℂ means {a + b i : a,b  ℝ}. i = √(1) ∈ ℂ
C
luvut
mielivaltainen vakio C voi olla mikä tahansa luku, jota ei ole yleensä kiinnitetty. Esiintyy usein integraaleja laskettaessa. jos f(x) = 6x² + 4x, on F(x) = 2x³ + 2x² + C, missä F'(x) = f(x)
C
integraalilaskenta
𝕂

K
reaali- tai kompleksilukujen joukko K tarkoittaa usein, että tulos on voimassa sekä reaali- että kompleksiluvuille.

koska


ja

.
K
lineaarialgebra
ääretön ∞ on laajennetun reaaliakselin alkio, joka on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Esiintyy usein raja-arvoja laskettaessa. limx→0 1/|x| = ∞
ääretön
luvut
||||
normi || x || on normiavaruuden alkion x normi. || x  + y ||  || x ||  +  || y ||
normi

pituus
lineaarialgebra
summaus

tarkoittaa a1 + a2 + … + an.

= 12 + 22 + 32 + 42 

= 1 + 4 + 9 + 16 = 30
summa yli …
aritmetiikka
tulo

tarkoittaa tuloa a1a2···an.

= (1+2)(2+2)(3+2)(4+2)

= 3 × 4 × 5 × 6 = 360
tulo yli …
aritmetiikka
Karteesinen tulo

tarkoittaa kaikkia (n+1)-jonoja

(y0, …, yn).

karteesinen tulo, suora tulo
joukko-oppi
erillinen yhdiste
erillinen yhdiste
kategoriateoria


derivaatta f ′(x) on funktion f derivaatta kohdassa x, eli f:n tangentin kulmakerroin kohdassa x. Siis . Jos f(x) := x2, on f ′(x) = 2x
… pilkku

derivaatta
differentiaali- ja integraalilaskenta
määräämätön integraali tai antiderivaatta  f(x) dx tarkoittaa funktiota, jonka derivaatta on f. x2 dx = x3/3 + C
määräämätön integraali

antiderivaatta
differentiaali- ja integraalilaskenta
määrätty integraali ab f(x) dx tarkoittaa etumerkillä varustettua funktion kuvaajan ja x-akselin rajaamaa pinta-alaa välillä axb. 0b x2  dx = b3/3;
integraali
differentiaali- ja integraalilaskenta
gradientti f (x1, …, xn) on f:n osittaisderivaatoista muodostettu vektori (∂f / ∂x1, …, ∂f / ∂xn). Jos f (x,y,z) := 3xy + z², on ∇f = (3y, 3x, 2z)
del, nabla, gradientti
differentiaali- ja integraalilaskenta
osittaisderivaatta Jos f (x1, …, xn), on ∂f/∂xi f:n derivaatta muuttujan xi suhteen. Muita muuttujia käsitellään derivoitaessa vakioina. Jos f(x,y) := x2y, on ∂f/∂x = 2xy
osittaisderivaatta, d
differentiaali- ja integraalilaskenta
reuna M tarkoittaa M:n reunaa ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}
reuna
topologia
kohtisuoruus x y tarkoittaa, että x on kohtisuorassa y:hyn nähden tai yleisemmin, x on ortogonaalinen y:n kanssa. Jos l m ja m n, on l || n.
on kohtisuorassa
geometria
pienin alkio x = tarkoittaa, että x on pienin alkio. x : x =
pienin alkio
lattiisiteoria
||
yhdensuuntaisuus x || y tarkoittaa, että x ja y ovat yhdensuuntaisia. Jos l || m ja m n, on l n.
on yhdensuuntainen
geometria
seuraa AB tarkoittaa, että lauseesta A seuraa lause B, eli jokaisessa mallissa, jossa A on tosi, on myös B tosi. AA ∨ ¬A
seuraa
malliteoria
johtopäätös xy tarkoittaa, että y on johdettu x:stä. AB ⊢ ¬B → ¬A
on johdettu
propositionaalilogiikka, predikaattilogiikka
normaali aliryhmä NG tarkoittaa, että N on G:n normaali aliryhmä. Z(G) ◅ G
on normaali aliryhmä
ryhmäteoria
/
tekijäryhmä G/H tarkoittaa tekijäryhmää G modulo sen normaali aliryhmä H. {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}
mod
ryhmäteoria
tekijäjoukko A/~ tarkoittaa kaikkien ~:n ekvivalenssiluokkien joukkoa A:ssa. Jos määritellään ~ asettamalla x~y ⇔ x-y∈Z, on
R/~ = {{x+n : nZ} : x ∈ (0,1]}
mod
joukko-oppi
isomorfismi GH tarkoittaa, että ryhmä G on isomorfinen ryhmän H kanssa Q / {1, 1} ≈ V,
missä Q on kvaternioryhmä ja V on Kleinin neliryhmä.
on isomorfinen
ryhmäteoria
likimäärin yhtä suuri xy tarkoittaa, että x on likimäärin yhtä suuri kuin y π ≈ 3.14159
on likimäärin yhtä suuri kuin
kaikkialla
~
samaa kertaluokkaa m ~ n, tarkoittaa, että suureet m ja n on samaa kertaluokkaa. 2 ~ 5

8 × 9 ~ 100

, mutta π2 ≈ 10
suunnilleen yhtä paljon

likimääräinen arvio
Approksimointiteoria


〈,〉

( | )

< , >

·

:
sisätulo x,y〉 tarkoittaa x:n ja y:n sisätuloa, joka on määrätty sisätuloavaruudessa.

Tavallisille vektoreille pistetulon merkintä on tavallisempi: x·y.
Matriiseille voidaan käyttää piste-notaatiota.

Kahden vektorin x = (2, 3) ja y = (−1, 5) pistetulo on:
〈x, y〉 = 2×−1 + 3×5 = 13

sisätulo
Vektorilaskenta
tensoritulo VU tarkoittaa V:n ja U:n tensorituloa. {1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} =
{{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}
tensoritulo
lineaarialgebra
*
konvoluutio f * g tarkoittaa f:n ja g:n konvoluutiota.
konvoluutio
keskiarvo tarkoittaa keskiarvoa. .
yläviiva
tilastotiede
delta yhtäsuuruus tarkoittaa yhtäsuuruutta määritelmän perusteella. Kun käytetään merkkiä , yhtäsuuruus ei ole yleisessä tapauksessa voimassa, mutta ottaen huomioon tapauksessa vallitsevat oletukset, on yhtäsuuruus voimassa. .
yhtäsuuruus määritelmän perusteella
kaikkialla

Katso myös

Aiheesta muualla

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.