Liouvillen lause

Lauseen todistus perustuu siihen kompleksifunktioiden ominaisuuteen, että jos funktiolla on jollakin alueella derivaatta, se on analyyttinen ja voidaan esittää Taylorin sarjana:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

missä Cauchyn integraalikaavan mukaan on

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }$

ja C_r on origokeskeinen r-säteinen kiekko (r > 0). Tästä saadaan suoraan:

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}\,d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,d\zeta \leq {\frac {M}{r^{k}}},}$

missä jälkimmäisessä epäyhtälössä on oletettu, että |f(z)| ≤ M kaikilla z. Tässä luku r voi olla mikä tahansa positiivinen luku. Jos sen annetaan kasvaa mielivaltaiseksi, saadaan

a_k = 0

kaikille k ≥ 1. Näin ollen f(z) = a₀ kaikilla zn arvoilla, joten se on vakio, mikä oli todistettava.