Lineaarinen funktio

Lineaarinen funktio on aidosti monotoninen. Funktio on aidosti kasvava, kun kulmakerroin ${\displaystyle a>0}$ ja aidosti vähenevä, kun ${\displaystyle a<0}$.

Vakiofunktiolla ${\displaystyle a=0}$ ja sen kuvaaja kulkee vaakasuoraan. Tällöin funktio on vain monotoninen. Se voidaan tulkita sekä kasvavaksi että väheneväksi funktioksi.

Koska lineaarinen funktio on monotoninen, on sillä olemassa käänteisfunktio. Ainoa poikkeus säännöstä on vakiofunktio, jolla ei ole käänteisfunktiota. Funktion

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

käänteisfunktio voidaan muodostaa

${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{a}}x-{\frac {b}{a}}}$

Yleisen lineaarisen funktion derivaattafunktio [3] on vakiofunktio

${\displaystyle f'(x)=D(ax+b)=a~}$

ja integraalifunktio [4]

${\displaystyle F(x)=\int (ax+b)dx={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+C}$.

Välillä ${\displaystyle [a,b]}$ lineaarisen funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan A voi laskea puolisuunnikassäännöllä tarkasti ilman integrointia [5]

${\displaystyle A=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Lineaarisen funktion kuvaaja on sovitettu kulkemaan kertoimien a,b arvojen taitavalla valinnalla mahdollisimman hyvin kohdefunktion arvojoukon läpi.

Moniosainen lineaarinen interpolaatio muodostuu murtoviivasta, jota esittää paloittainen lineaarinen funktio.

Kohdefunktion tunnettuja arvoja voi approksimoida lineaarisella funktiolla, jonka kertoimet a,b määritetään regressioanalyysillä käyttäen pienimmän neliösumman menetelmällä [6]. Kohdefunktion arvojen ja lineaarisen funktion arvojen vastaavuutta voidaan mitata korrelaatiokertoimella. Jos korrelaatiokerroin on 1, on myös kohdefunktion arvot lineaarisesti riippuvia muuttujastaan x ja niiden kautta voidaan piirtää suora. Jos korrelaatiokerroin on alle 1, ei lineaarinen funktio kuvaa kohdefunktion arvoja tarkasti.[7]

Kohdefunktion lauseketta ei tarvitse tällä menetelmällä tuntea. Riittää, että tietää riittävästi (x,f(x))-pareja, joiden kulkua approksimoidaan tilastollisesti.[8]

Kohdefunktio voidaan korvata lineaarisella funktiolla, joka approksimoi sitä hyväksyttävällä virheellä. Yksinkertaiseen interpolointiin tarvitaan kaksi kohdefunktion arvoa kohdista a ja b, joiden avulla lasketaan arvoparit (a,f(a)) ja (b,f(b)). Arvoparien kautta sovitetaan suora, jonka kulku voidaan esittää lineaarisena funktiona g(x):

${\displaystyle g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$

Lineaarinen funktio muodostamista kahden pisteen avulla kutsutaan myös Lagrangen interpolaatiopolynomi-menetelmäksi ja saatua suoraa saatetaan kutsua myös sekantiksi.

Moniosainen interpolointi suoritetaan siten, että kohdefunktion määrittelyalue jaetaan useaan osaväliin, joiden päätepisteissä määritetään kohdefunktion arvot. Sitten muodostetaan murtoviiva, joka kulkee päätepisteiden kautta ja ilmaistaan tämä paloittaisen funktiona.[9]