Lien ryhmä

Matematiikassa Lien ryhmä on (reaalinen tai kompleksinen) monisto ja samalla ryhmä, jonka tulo ja käänteisalkio ovat analyyttisiä kuvauksia. Nämä ovat tärkeitä työkaluja matemaattisessa analyysissa sekä myös fysiikassa ja geometriassa, sillä ne kuvaavat analyyttisten rakenteiden symmetriaa. Lien ryhmät otti käyttöön norjalainen matemaatikko Sophus Lie vuonna 1870 tutkiakseen differentiaaliyhtälöitä.

Kompleksitason ympyrä, jonka keskipiste on 0 ja säde 1, on Lien ryhmä.

Siinä missä euklidinen avaruus ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ on reaalinen Lien ryhmä (jonka laskutoimitus on vektorien yhteenlasku), tyypillisempiä esimerkkejä Lien ryhmistä ovat Lien matriisiryhmät eli kääntyvien matriisien ryhmät (laskutoimituksenaan matriisien kertolasku): Esimerkiksi SO(3), 3-ulotteisen avaruuden kaikkien kiertojen avaruus on Lien matriisiryhmä.