Laplace-muunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)dt

,

missä $0-=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon$ .[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

{\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti $s$ on kompleksiluku: $s=\sigma _{1}+i\sigma _{2}$ , missä $i$ on imaginääriyksikkö ja $\sigma _{1},\sigma _{2}\in \mathbb {R}$ . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds

Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:

{\mathcal {L}}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)

Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:

{\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)

Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:

\lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)

\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)

Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:

{\mathcal {L}}\{{\frac {df}{dt}}\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)

[2]

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]

Funktio	Laplace-muunnos	Rajoitteet
1	${\frac {1}{s}}$	s>0
$e^{ax}$	${\frac {1}{s-a}}$	$s>\max\{a,0\}$
$x^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$	s>0
$\sin(ax)$	${\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$	s>0
$\cos(ax)$	${\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$	s>0
$\sinh(ax)$	${\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}$	s>0
$\cosh(ax)$	${\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}$	s>0

Katso myös

Lähteet

Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.
Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152–153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8.

Kirjallisuutta

Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4.
Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.

Aiheesta muualla

Laplace- ja Fourier-muunnoksia online (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista (englanniksi)
Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista (englanniksi)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Keka-1] Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.

[Keka2-2] Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0.

[3] Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152–153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8.