Lagrangen kertoimet
Lagrangen menetelmä on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty menetelmä yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi.
Määritelmä
Olkoon minimointitehtävän kohdefunktio ja rajoite-ehtofunktio. Tarkastellaan näiden määrittämää rajoiteoptimointititehtävää
Tehtävä voidaan kirjoittaa muodossa, jota kutsutaan Lagrangen funktioksi
Kertoimia kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esitetyn optimointitehtävän käypä eli rajoite-ehdot täyttävä ratkaisu löydetään Lagrangen funktion ääriarvopisteessä , jossa siis . Voidaan tulkita, että kertoimet ohjaavat ratkaisun rajoite-ehtojen määräämään käypään joukkoon.
Esimerkki
Minimointitehtävä ratkaistaan seuraavasti:
- kirjoita tehtävä funktiona
- etsi osittaisderivaatat muuttujien ja suhteen
- ratkaise derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä
Langrangen funktio esimerkille
Etsitään osittaisderivaatat ja niiden muodostama yhtälöryhmä
Ratkaistaan saadusta yhtälöryhmästä ääriarvopisteet (, , ) algebran menetelmin (ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä).
Menetelmä
Olkoon minimointitehtävän kohdefunktio ja rajoite-ehtofunktio. Kutsutaan ehdon määräämien pisteiden joukkoa käyräksi . Olkoot funktiot derivoituvia kaikkien muuttujiensa suhteen käyrän pisteissä. Oletetaan myös, että kohdefunktio on derivoituva tehtävän ratkaisupisteen ympäristössä. Kun lisäksi oletetaan, että piste ei ole käyrän päätepiste, ja gradientti , on olemassa sellainen luku niin, että piste on ns. Lagrangen funktion
kriittinen piste. Toisin sanoen funktion käyrällä sijaitsevat ääriarvot voidaan löytää etsimällä Lagrangen funktion ääriarvot. Ääriarvot löydetään ratkaisemalla funktion osittaisderivaatojen nollakohta
eli
Geometrinen tulkinta
Lagrangen kerroin voidaan nähdä skaalaustekijänä, jolla rajoitusehdon gradienttivektoria tulee kertoa, että siitä tulee yhtä pitkä kuin kohdefunktion gradienttivektorista optimointitehtävän ratkaisupisteessä. Tulkinta yleistyy useamman rajoitusehdon tapaukseen, jolloin aktiivisia rajoitusehtoja vastaavat kertoimet valitaan niin, että niiden lineaarikombinaatio vastaavien gradienttien kanssa kumoaa kohdefunktion gradientin.
Herkkyystulkinta
Herkkyystulkinnassa tarkastellaan, miten kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhtälörajoitetta muutetaan. Tarkastellaan muotoista tehtävää, missä . Lagrangen kerroin ilmaisee kunka paljon kohdefunktion arvo muuttuu yhtälörajoituksen muuttuessa eli
missä tarkoittaa gradienttia rajoitusehdon muutoksen suhteen.
Esimerkki: pisteen etäisyys suorasta
Esitetään tehtävä matemaattisessa muodossa ja ratkaistaan se Lagrangen menetelmällä. Olkoon piste ja suora , missä ovat mielivaltaisia vakioita.
Minimoidaan etäisyyden funktio
ehdolla
Suoran yhtälö on siis optimointitehtävän ehto.
Muodostetaan etäisyysfunktiosta ja ehdosta Lagrangen funktio
Ratkaistaan funktion ääriarvot muuttujien , ja suhteen etsimällä osittaisderivaattojen nollakohdat:
Katso myös
Lähteet
- Robert A. Adams (1999), Calculus: A Complete Course 5. painos, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-79131-5.