Lämpöyhtälö

Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa ${\displaystyle \Omega }$, ja olkoon ${\displaystyle u(x,t)}$ lämpötila, ${\displaystyle e(x,t)}$ aineen sisäenergia (J/kg) ja ${\displaystyle {\vec {q}}}$ lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa

${\displaystyle E=\int _{\Omega }e(x,t)\rho (x)dx}$,

missä ${\displaystyle \rho }$ on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella

${\displaystyle \iint _{\partial \Omega }{\vec {q}}\cdot ndS}$,

missä ${\displaystyle n}$ on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {q}}dx}$,

ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\Omega }e(x,t)\rho (x)dx+\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {q}}dx=0}$.

Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö

${\displaystyle \rho (x)e_{t}(x,t)+\nabla \cdot {\vec {q}}=0}$.

Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden

${\displaystyle {\vec {q}}=-k(x)\nabla u(x,t)}$,

joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys

${\displaystyle e(x,t)=c(x)u(x,t)}$,

missä ${\displaystyle c}$ on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt

${\displaystyle \rho (x)c(x)u_{t}(x,t)+\nabla \cdot (-k(x)\nabla u(x,t))=0}$.

Jos Fourierin lain kerroin ${\displaystyle k}$ (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan

${\displaystyle \rho (x)c(x)u_{t}(x,t)=k\Delta u(x,t)}$,

missä ${\textstyle \Delta }$ on Laplacen operaattori.