Maalijoukko

Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, missä ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen ${\displaystyle x^{2}}$ arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut ${\displaystyle [0,\infty [}$, joka on reaalilukujen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ osajoukko. Kuvaus EI ole injektio eikä surjektio. Injektion määritelmän mukaan ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$, kun ${\displaystyle a\neq b}$. Tämä ei toteudu funktiolla ${\displaystyle f}$, sillä esimerkiksi ${\displaystyle f(-1)=f(1)=1}$. Surjektion määritelmän mukaan ${\displaystyle f}$ on surjektio, jos ${\displaystyle f(X)=Y}$ eli funktion maalijoukko on sama kuin sen arvo- eli kuvajoukko. Funktion ${\displaystyle f}$ arvojoukko on kaikki positiiviset reaaliluvut, mutta maalijoukoksi on määritelty kaikki reaaliluvut, myös negatiiviset. Funktiosta ${\displaystyle f}$ voi kuitenkin "pakottaa" surjektion määrittelemällä maalijoukon uudelleen:

Määritellään funktio hieman muuntaen seuraavasti

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,\infty [}$, missä ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).

Kolmannen asteen potenssifunktio

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, missä ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.