Kvasisäännöllinen monitahokas

Säännölliset (p | 2 q) ja kvasisäännölliset monitahokkaat (2 | p q) voidaan konstruoida Wythoffin konstruktiolla käyttämällä lähtökohtana yhtä perusalueen kolmesta kärkipisteestä. Tämä määrittelee perusalueelle yhden erityisen särmän.

Kvasisäännöllisiä monitahokkaita voidaan muodostaa Shcwarzin kolmioiden perusalueen kaikista kulmista, kun niissä ei ole suoria kulmia:
q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q

Coxeter määritteli kvasisäännöllisen monitahokkaan sellaiseksi, jonka Wythoffin symboli on muotoa p | q r, ja se on säännöllinen, jos q=2 tai q=r.[2]

Coxeterin–Dynkinin diagrammi on toinen symbolinen esitystapa, joka osoittaa kvasisäännöllisen relaation kahden duaalisen säännöllisen kappaleen välillä:

Schläflin symboli		Coxeterin diagrammi	Wythoffin symboli
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p,q}		q | 2 p
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	{q,p}		p | 2 q
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	r{p,q}	tai	2 | p q

Varsinaisia kuperia kvasisäännöllisiä monitahokkaita on kaksi: kuboktaedri ja ikosidodekaedri. Molemmat kuuluvat myös Arkhimedeen kappaleisiin.[3] Lisäksi oktaedria, joka on samalla säännöllinen monitahokas, voidaan pitää myös kvasisäännöllisenä, jos sen sivut väritetään vuorotellen eri väreillä. Tässä muodossa siitä käytetään toisinaan nimitystä tetratetraedri.

Kuperien kvasisäännöllisten monitahokkaiden Schläflin symbolit, kärkikonfiguraatiot, Coxeterin diagrammit ja Wythoffin symbolit (oktaedri mukaan luettuna) ovat seuraavat:

monitahokas	Schläflin symboli		Kärkikonfiguraatio	Coxeterin diagrammi	Wythoffin symboli
Kuboktaedri	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	2{3,4}	(3.4)2		2 | 3 4
Ikosidodekaedri	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$	2{3,5}	(3.5)2		2 | 3 5
Oktaedri	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	2{3,3}	(3.3)2		2 | 3 3

Sekä kuboktaedri että ikosidodekaedri ovat samalla kahden keskenään duaalisen säännöllisen monitahokkaan yhteisiä ydinosia.[3] Niiden nimet viittaavat niihin monitahokaspareihin, joista ne voidaan täten muodostaa: sana kuboktaedri on muodostettu lisäämällä sanaan oktaedri etuliite kub-, joka johtuu kuutiota tarkoittavasta sanasta cube, ja vastaavasti sana ikosidodekaedri on yhdistetty sanoista ikosaedri ja dodekaedri. Vastaavalla tavalla oktaedri on kahden keskenään duaalisen tetraedrin yhteinen ydinosa[3] (nimellä stella octangula tunnettu muodostelma), ja tällä tavoin muodostettuna sitä sanotaan joskus myös tetratetraedriksi.

Säännöllinen	Säännöllinen duaali	Kvasisäännöllinen	Särmäkuvio
Tetraedri {3,3} 3 | 2 3	Tetraedri {3,3} 3 | 2 3	Tetratetraedri r{3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Kuutio {4,3} 3 | 2 4	Oktaedri {3,4} 4 | 2 3	Kuboktaedri r{3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Dodekaedri {5,3} 3 | 2 5	Ikosaedri {3,5} 5 | 2 3	Ikosidodekaedri r{3,4} 2 | 3 5	3.5.3.5

Kumpikin kvasi­säännöllinen moni­tahokas voidaan konstruoida typistämällä jompikumpi sen muodostavista säännöllisestä moni­tahokkaasta leikkaamalla siitä jokaisesta kärjestä pois niin suuri pala, että alku­peräisen moni­tahokkaan jokainen sivu kutistuu yhdeksi pisteeksi.

Kvasisäännölliset laatoitukset

Tätä sarjaa edustaa triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärkikuvio on (3.6)². Se on 'kvasi­säännöllinen laatoitus, joka on yhdistelmä kolmio- ja kuusi­kulmio­laatoituksesta samaan tapaan kuin kvasi­säännölliset moni­tahokkaat ovat kahden säännöllisen monitahokkaan yhdistelmiä.

Säännöllinen	Säännöllinen duaali	Kvasisäännöllinen	Kärkikuvio
Heksagonaalinen laatoitus {6,3} 6 | 2 3	Kolmiolaatoitus {3,6} 3 | 2 6	Triheksagonaalinen laatoitus r{6,3} 2 | 3 6	(3.6)2

Shakkilautamalli on neliölaatoituksen kvasisäännöllinen väritys, jonka kärkikuvio on (4.4)²:

Säännöllinen	Säännöllinen duaali	Kvasisäännöllinen	Kärkikuvio
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r{4,4} 2 | 4 4	(4.4)2

Kolmiolaatoitus voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi. Sen muodostavat kolme vuorottelevaa kolmioiden joukkoa jokaisen kärjen ympärillä, (3.3)³:

h{6,3} 3 | 3 3 =

Hyperbolisella tasolla sarja jatkuu edelleen. Siihen kuuluu muun muassa triheptagonaalinen laatoitus jonka kärkikuvio on (3.7)². Se on kvasisäännöllinen laatoitus, jonka saadaan yhdistelmänä kertaluvun 7 kolmiolaatoituksesta ja heptagonaalisesta eli seitsenkulmioiden muodostamasta laatoituksesta:

Säännöllinen	Säännöllinen duaali	Kvasisäännöllinen	Kärkikuvio
Heptagonaalinen laatoitus {7,3} 7 | 2 3	Kolmiolaatoitus {3,7} 3 | 2 7	Triheptagonaalinen laatoitus r{3,7} 2 | 3 7	(3.7)2

Vuonna 1954 H.S.M. Coxeter luokitteli myös muutamat samantapaiset tähtimonitahokkaat kvasisäännöllisiksi.[4]

Kaksi niistä voidaan muodostaa säännöllisten Kepler-Poinsotin kappaleiden duaalipareista samaan tapaan kuin edellä mainitut kuperat kvasisäännölliset kappaleet, nimittäin suuri ikosidodekaedri ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}}$ ja dodekadodekaedri ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}}$[3]:

Säännöllinen	Säännöllinen duaali	Kvasisäännöllinen	Kärkikuvio
Suuri tähtidodekaedri {5/2,3} 3 | 2 5/2	Suuri ikosaedri {3,5/2} 5/2 | 2 3	Suuri ikosidodekaedri r{3,5/2} 2 | 3 5/2	3.5/2.3.5/2
Pieni tähtidodekaedri {5/2,5} 5 | 2 5/2	Suuri dodekaedri {5,5/2} 5/2 | 2 5	Dodekadodekaedri r{5,5/2} 2 | 5 5/2	5.5/2.5.5/2

Näiden lisäksi on vielä yhdeksän hemipolyedriä, jotka saadaan leikkaamalla edellä mainituista kvasisäännöllisistä monitahokkaista paloja pois. Niissä on mukana ekvatoriaalisia tahkoja, jotka kulkevat alkuperäinen monitahokkaan keskipisteen kautta:

Kvasisäännöllinen (typistetty)	Tetratetraedri	Kuboktaedri	Ikosidodekaedri	Suuri ikosidodekaedri	Dodekadodekaedri
Kvasisäännöllinen (hemipolyedri)	Tetrahemihekeaedri 3/2 3 | 2	Oktahemioktaedri 3/2 3 | 3	Pieni ikosihemidodekaedri 3/2 3 | 5	Suuri ikosihemidodekaedri 3/2 3 | 5/3	Pieni dodekahemikosaedri 5/3 5/2 | 3
Kärkikuvio	3.4.3/2.4	3.6.3/2.6	3.10.3/2.10	3.10/3.3/2.10/3	5/2.6.5/3.6
Kvasisäännöllinen (hemipolyedrit)		Kubohemioktaedri 4/3 4 | 3	Pieni dodekahemidodekaedri 5/4 5 | 5	Suuri dodekahemidodekaedri 5/3 5/2 | 5/3	Suuri dodekahemidodekaedri 5/4 5 | 3
Kärkikuvio		4.6.4/3.6	5.10.5/4.10	5/2.10/3.5/3.10/3	5.6.5/4.6

Sitä paitsi on kolme ditrigonaalista muotoa, jotka kaikki saadaan poistamalla palasia säännöllisestä dodekaedrista. Niiden kärkikuvioina esiintyy kolme muunelmaa kahdesta tahkotyypistä:

Kuva	Monitahokkaan nimi Wythoffin symboli Coxeterin diagrammi	Kärkikuvio
	Ditrigonaalinen dodekadodekaedri 3 | 5/3 5 tai	(5.5/3)3
	Pieni trigonaalinen ikosaedri 3 | 5/2 3 tai	(3.5/2)3
	Suuri ditrigonaalinen ikosidodekaedri 3/2 | 3 5 tai	((3.5)3)/2

Euklidisella tasolla hemipolyedrien sarjaa jatkavat seuraavat neljä tähtimäistä laatoitusta eli tessellaatiota, joissa apeirogonit vastaavat edellä mainittuja ekvatoriaalisia monitahokkaita:

Alkuperäinen suoritettu laatoitus	Särmä- kuvio	Kärki- konfiguraatio	Wythoff	Symmetria
Neliö- laatoitus		4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	p4m
Kolmio- laatoitus		(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 | 3 ∞	p6m
Triheksagonaalinen laatoitus		6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
		∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

Jotkut kirjoittajat ovat sitä mieltä, että kun kvasisäännöllisten kappaleiden duaalikappaleilla on sama symmetria, näitä duaalikappaleitakin pitäisi nimittää kvasisäännöllisiksi. Kaikki eivät tätä terminologiaa kuitenkaan käytä. Nämä duaalikappaleet ovat transitiivisia särmiensä ja tahkojensa, mutta eivät kärkiensä suhteen; ne ovat särmätransitiivisia Catalanin kappaleita. Niistä kuperia ovat seuraavat:

1. rombidodekaedri, jolla on kahdenlaisia kärkiä: kahdeksan kärkeä, joissa kolme neljäkkään muotoista tahkoa kohtaa toisensa, sekä kuusi kärkeä, joissa neljä tällaista tahkoa kohtaa toisensa.
2. rombinen triakontaedri, jolla on kahdenlaisia kärkiä: 20 kärkeä, joissa kolme neljäkkään muotoista tahkoa kohtaa toisensa, sekä 12 kärkeä joissa viisi tällaista tahkoa kohtaa toisensa.

Sitä paitsi oktaedrin duaalikappale, kuutio, jota yleensä pidetään säännöllisenä monitahokkaata, voidaan käsittää myös kvasisäännölliseksi värittämällä sen kärjet vuorotellen eri väreillä.

Näiden tahkokonfiguraatiot ovat muotoa V3.n.3.n, ja Coxeterin–Dynkinin diagrammi on .

Kuutio V(3.3)2	Rombidodekaedri V(3.4)2	Rombinen triakontaedri V(3.5)2	Rombinen laatoitus V(3.6)2	V(3.7)2	V(3.8)2

Näillä kvasisäännöllisillä duaaleilla on sivutahkoina vinoneliöitä eli neljäkkäitä. Niiden sarjaa jatkaa rombinen laatoitus, V(3.6)².

Korkeammissa ulottuvuuksissa Coxeter määritteli kvasisäännöllisen polytoopin tai hunajakennon sellaiseksi, jolla on säännölliset sivut ja kvasisäännölliset kärkikuviot. Tästä seuraa, että sen kaikki kärkikuviot ovat yhtenevät ja että siinä vuorottelevat kahdenlaiset sivut.[5]

Euklidisessa 4-avaruudessa säännööllinen 16-solu voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi, vuodottelevaksi tesseraktiksi, h{4,3,3}, jonka Coxeterin diagrammi on: = ja joka muodostuu vuorottelevista tetraedrisistä soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen tetratetraedri eli oktaedri, jolla on tetraedrinen symmetria,

Euklidisessa 3-avaruudessa ainoa kvasisäännöllinen hunajakenno on vuorotteleva kuutiollinen hunajakenno h{4,3,4}, jonka Coxeterin diagrammi on seuraavanlainen: . Se muodostuu vuorottelevista tetraedrin ja oktaedrin muotoisista soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen kuboktaedri, .[5]

Hyperbolisessa 3-avaruudessa muuan kvasisäännöllinen hunajakenno on vuorotteleva kertaluvun 5 kuutiollinen hunajakenno, h{4,3,5}, jonka Coxeterin diagrammit ovat: = . Se koostuu vuorottelevista tetraedrisista ja ikosaedrisistä soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen ikosidodekaedri, . Se on sukua parakompaktille vuorottelevalle kertaluvun 6 kuutiolliselle hunajakennolle, h{4,3,6}, jossa vuorottelevat tetraedriset ja kuusikulmaiset solut ja jonka kärkikuvio on kvasisäännöllinen triheksagonaalinen laatoitus, .

Kvasisäännölliset polykoorit ja hunajakennot: h{4,p,q}
Avaruus	Äärellinen	Affiininen	Kompakti	Parakompakti
Schäflin symboli	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{5 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{6 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 4}\right\}}$
Coxeterin diagrammi	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Kuva
Kärkikuvio r{p,3}

Muotoa {p,3,4) tai olevien polytooppien ja hunajakennojen symmetria voidaan puolittaa: , jolloin saadaan kvasisäännöllinen muoto , jolla eri väriset {p, 3}-solut vuorottelevat. Tällaisiin tapauksiin kuuluu euklidinen kuutiollinen hunajakenno {4,3,4} kuutiomaisine soluineen, kompakti hyperbolinen {4,3,4} kenno dodekaedrin muotoisine soluineen sekä parakompakti {6,3,4}, äärettöminen kuusikulmaisen laatoituksen mukaisine soluineen. Niissä on neljä solua jokaisen kärjen ympärillä vuorottelevin värein. Niiden kärkikuviot ovat kvasisäännöllisiä tetratetraedrejä, = .

Yleinen kärkikuvio on kvasisäännöllinen tetratetraedri,
, joka on sama kuin säännöllinen oktaedri.

Säännölliset ja kvasisäännölliset hunajakennot: {p,3,4} and {p,31,1}
Avaruus	Euklidinen 4-avaruus	Euklidinen 3-avaruus	Hyperbolinen 3-avaruus
Nimi	16-solu {3,3,4} {3,31,1} = ${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	Kuutiollinen hunajakenno {4,3,4} {4,31,1} = ${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 3}\right\}}$	Kertaluvun 4 dodekaedrinen hunajakenno {5,3,4} {5,31,1} = ${\displaystyle \left\{5,{3 \atop 3}\right\}}$	Kertaluvun 4 heksagonaalinen laatoitus {6,3,4} {6,31,1} = ${\displaystyle \left\{6,{3 \atop 3}\right\}}$
Coxeterin diagrammi	=	=	=	=
Kuva
Solut {p,3}

Samaan tapaan muotoa {p,3,6} tai olevien säännöllisten hyperbolisten hunajakennojen symmetria voidaan puolittaa: , jolloin saadaan kvasisäännölliset muodot , joilla eri väriset {p,3} -solut vuorottelevat. Niissä jokaisen särmän ympärillä on kuusi solua, joilla vuorottelee kaksi väriä. Niiden kärkikuviot ovat kvasisäännöllisiä kolmiolaatoituksia, .

Yleinen kärkikuvio on kvasisäännöllinen kolmiolaatoitus,
=

Hyperboliset uniformiset hunajakennot: {p,3,6} ja {p,3^[3]}

Muoto	Parakompaktit				Ei-kompaktit
Nimi	Kertaluvun 6 tetraedrinen {3,3,6} {3,3[3]}	Kertaluvun 6 kuutiollinen {4,3,6} {4,3[3]}	Kertaluvun 6 dodekaedrinen {5,3[3]}	Kertaluvun 6 heksagonaalinen {6,3,6} {6,3[3]}	Kertaluvun 3-6 heptagonaalinen {7,3,6} {7,3[3]}	Kertaluvun 3-6 oktagonaalinen {8,3,6} {8,3[3]}	Kertaluvun 3-6 apeirogonaalinen {∞,3,6} {∞,3[3]}
Kuva
Solut	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}

• P. Cromwell: Polyhedra. Cambridge University Press, 1977.
• H.S.M. Coxeter: Regular Polytopes (3rd ed.), s. 17, 69. Dover Edition, 1973. ISBN 0-486-61480-8.