Funktio

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, jolla ${\displaystyle f(x)=x}$, on funktio reaalilukujen joukossa. Tässä funktio ${\displaystyle f}$ liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä, ks. Identtinen funktio.

${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, jolla ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$. Nyt funktio ${\displaystyle g}$ liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön.

${\displaystyle h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, jolla ${\displaystyle h(x,y)=x^{2}+y^{2}}$, on kahden muuttujan funktio (ks. alla). Funktio ${\displaystyle h}$ liittää jokaiseen reaalilukupariin lukujen neliöiden summan.

Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen ${\displaystyle A\,}$ ja ${\displaystyle B\,}$ joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko ${\displaystyle f\subset A\times B\,}$ on funktio, jos sille pätevät ehdot

${\displaystyle \forall x\in A\exists y\in B:(x,\,y)\in f}$

ja

${\displaystyle (x,y)\in f\Leftrightarrow \forall z\neq y:(x,z)\notin f}$.

Toisin sanoen pari ${\displaystyle (x,\,y)}$ on funktion ${\displaystyle f\,}$ alkio, jos ja vain jos jokaisella kuva-alkiosta ${\displaystyle y\,}$ poikkeavilla alkioilla ${\displaystyle z\,}$ pari ${\displaystyle (x,\,z)}$ ei ole funktion ${\displaystyle f\,}$ alkio. Siispä funktiossa kukin ${\displaystyle A\,}$:n alkio esiintyy tarkalleen kerran ${\displaystyle f}$:n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista. Eksaktin määritelmän avulla funktiot ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle g}$ ovat samat, kun ne ovat sama joukko, eli pätee ${\displaystyle f=g}$.

Olkoon joukko ${\displaystyle A=\{1,2\}}$ ja joukko ${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$. Nyt näiden karteesinen tulo on joukko ${\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}$.

Funktiot joukossa ${\displaystyle A\times B}$ ovat osajoukot:

• ${\displaystyle F_{1}=\{(1,1),(2,1)\}}$ eli ${\displaystyle F_{1}:A\rightarrow B,F_{1}(x)=1}$
• ${\displaystyle F_{2}=\{(1,1),(2,2)\}}$ eli ${\displaystyle F_{2}:A\to B,F_{2}(x)=x}$
• ${\displaystyle F_{3}=\{(1,1),(2,3)\}}$ eli ${\displaystyle F_{3}:A\to B,F_{3}(x)=2x-1}$
• ${\displaystyle F_{4}=\{(1,2),(2,1)\}}$ eli ${\displaystyle F_{4}:A\to B,F_{4}(x)=3-x}$
• ${\displaystyle F_{5}=\{(1,2),(2,2)\}}$ eli ${\displaystyle F_{5}:A\to B,F_{5}(x)=2}$
• ${\displaystyle F_{6}=\{(1,2),(2,3)\}}$ eli ${\displaystyle F_{6}:A\to B,F_{6}(x)=x+1}$
• ${\displaystyle F_{7}=\{(1,3),(2,3)\}}$ eli ${\displaystyle F_{7}:A\to B,F_{7}(x)=3}$.

Funktion f(x)=x kuvaaja

Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon ${\displaystyle A\times B}$ osajoukko

${\displaystyle \{(x,f(x)):x\in A\}.}$

Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa.

Esimerkiksi funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x}$, kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ osajoukko

${\displaystyle \{(x,x):x\in \mathbb {R} \}.}$

Tässä tapauksessa koska joukko ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, niin voidaan funktion ${\displaystyle f}$ kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.

Jos ${\displaystyle f:A\to B}$, ${\displaystyle B\subset C}$ ja ${\displaystyle g:C\to D}$, niin on määriteltävissä funktio ${\displaystyle h:A\to D}$ siten, että ${\displaystyle h(x)=g(f(x))\,}$. Funktio ${\displaystyle h\,}$ on funktioista ${\displaystyle f\,}$ ja ${\displaystyle g\,}$ yhdistetty funktio ja sitä merkitään ${\displaystyle g\circ f}$.

Jos esimerkiksi ${\displaystyle A=B=C=D=\mathbb {R} \,}$, ${\displaystyle f(x)=x+2\,}$ ja ${\displaystyle g(x)=x^{2}\,}$, niin ${\displaystyle (f\circ g)(x)=x^{2}+2\,}$ ja ${\displaystyle (g\circ f)(x)=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,}$.

Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon karteesiseksi tuloksi, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=A}$, niin funktion ${\displaystyle f:A\to B}$ alkioon ${\displaystyle x\,}$ liittämää kuva-alkiota ${\displaystyle f(x)\,}$ merkitään yleensä ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}$. Esimerkiksi ilmanpaine ${\displaystyle p\,}$ tietyssä paikassa ${\displaystyle (x,y,z)\,}$ ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio ${\displaystyle p(x,y,z,t)\,}$. Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$: lukuparin ${\displaystyle (x,\,y)}$ yksikäsitteinen kuva-alkio ${\displaystyle +(x,y)}$ on lukujen ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ summa, ja sitä merkitään yksinkertaisemmin ${\displaystyle x+y\,}$ (ks. Laskutoimitus).

Vastaavasti funktion palauttama arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona ${\displaystyle [0,P]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$, missä ${\displaystyle P>0}$ on jokin vakio . Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$.

Olkoon ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ funktio eli kuvaus.

• Joukon ${\displaystyle A\subset X}$ kuvajoukko eli kuva kuvauksessa ${\displaystyle f\,}$ on joukko

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\in Y:x\in A\}.}$

Toisinaan kuvajoukkoa merkitään ilman sulkeita: ${\displaystyle f(A)=fA\,}$. Funktion kuvajoukko on siis maalijoukon ${\displaystyle Y\,}$ osajoukko ja se koostuu niistä ${\displaystyle Y\,}$:n kuva-alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon ${\displaystyle A\,}$ alkiot kuvautuvat kuvauksessa ${\displaystyle f\,}$. Jos asetamme osajoukoksi ${\displaystyle A\,}$ koko määrittelyjoukon ${\displaystyle X\,}$, ei välttämättä vastaava kuvajoukko ${\displaystyle f(X)}$ ole koko maalijoukko ${\displaystyle Y}$. Esimerkiksi funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$, määrittelyjoukon kuva ${\displaystyle f(\mathbb {R} )=[0,+\infty [}$, joka on maalijoukon ${\displaystyle \mathbb {R} }$ aito osajoukko.

• Joukon ${\displaystyle B\subset Y}$ alkukuva kuvauksessa ${\displaystyle f\,}$ on joukko

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}.}$

Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon ${\displaystyle X\,}$ osajoukko ja se koostuu niistä ${\displaystyle X\,}$:n alkioista, jotka kuvautuvat joukon ${\displaystyle B\,}$ alkioille kuvauksessa ${\displaystyle f\,}$. Yksittäisen alkion ${\displaystyle y\in Y}$ alkukuva on ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$. Jos asetetaan osajoukoksi ${\displaystyle B\,}$ koko maalijoukko ${\displaystyle Y\,}$, niin vastaava alkukuva on koko määrittelyjoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin maalijoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$, maalijoukon osajoukon ${\displaystyle [0,+\infty [}$ alkukuva on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eli koko määrittelyjoukko.

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan ${\displaystyle x\,}$ funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kertolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion ${\displaystyle p\,}$ yleinen muoto on

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}$

Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot ${\displaystyle f(x)=c\,}$, missä ${\displaystyle c\,}$ on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio ${\displaystyle f(x)=x\,}$. Rationaalifunktiot ${\displaystyle r\,}$ määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon

${\displaystyle r(x)={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}}$

eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio.

Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot.

Algebrassa voidaan funktioille lisäksi määritellä ytimen käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi.

Olkoon seuraavassa G ja G´ ryhmiä ja ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ jokin funktio.

• Funktion ${\displaystyle f\,}$ ydin on joukko

${\displaystyle {\mbox{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=0_{G'}\},}$

missä merkintä ${\displaystyle 0_{G'}\,}$ tarkoittaa arvojoukon ${\displaystyle G'\,}$ nolla-alkiota. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$, ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä ${\displaystyle f(x)=0\,}$ jos ja vain jos ${\displaystyle x=0\,}$.

Erityisesti funktionaalianalyysissä hyödyllinen käsite on funktion kantaja. Jos funktion määrittelyjoukko on topologinen avaruus ja arvojoukko on reaali- tai kompleksilukujen joukko, funktion kantaja on joukon ${\displaystyle f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\})}$ (${\displaystyle f^{-1}(\mathbb {C} \setminus \{0\})}$) sulkeuma eli pienin kyseisen joukon sisältävä suljettu joukko.

Sanan funktio etymologia perustuu latinan verbiin fungi, 'tehdä, toimia, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen G. W. Leibniz vuonna 1694. Sveitsiläinen Johann Bernoulli käytti vuonna 1718 merkintää ${\displaystyle \phi x\,}$. Merkintää ${\displaystyle f(x)\,}$ käyttivät ensi kerran ranskalainen Alexis Claude Clairaut (1713–1765) ja sveitsiläinen Euler vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen Dirichlet esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin.

Erityisesti Cauchyn, Riemannin ja Weierstrassin havainnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla funktioteoriaksi kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla.

Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia:

• affiinisuus
• bijektiivisyys
• derivoituvuus
• injektiivisyys
• integroituvuus
• jatkuvuus
• konveksisuus ja konkaavisuus
• lineaarisuus
• surjektiivisuus
• symmetrisyys

• Derivaatta
• Integraali
• Käänteisfunktio
• Matemaattinen optimointi
• Osittaisfunktio
• Polynomi
• Trigonometrinen funktio

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Funktio Wikimedia Commonsissa