Kuutiojuuri

Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri,

${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{V}}}$.

Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ja ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$. Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.[1]

Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen ${\displaystyle u+vi={\sqrt[{3}]{x+yi}}}$ reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.

Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, ${\displaystyle \phi }$) avulla:

${\displaystyle x+yi=r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })}$,

missä

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ja

${\displaystyle \phi =\arccos {\frac {x}{r}}=\arcsin {\frac {y}{r}}=\arctan {\frac {y}{x}}}$.[2]

Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.

De Moivren kaavan mukaan

${\displaystyle r(\cos {\phi }+i\sin {phi})^{n}=r^{n}(\cos {n\phi }+i\sin {n\phi })}$,

ja erityisesti

${\displaystyle r(\cos {\phi }+i\sin {phi})^{3}=r^{3}(\cos {3\phi }+i\sin {3\phi })}$

josta saadaan kääntäen:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })}}={\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {phi}{3}}+i\sin {\frac {\phi }{3}})}$

Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2${\displaystyle \pi }$:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {\phi }{3}}+i\sin {\frac {\phi +2\pi }{3}})}$ ja ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {\phi }{3}}+i\sin {\frac {\phi -2\pi }{3}})}$

Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:

${\displaystyle {\sqrt[{6}]{x^{2}+y^{2}}}(\cos {\frac {\arctan {\frac {y}{x}}}{3}}+i\sin {\frac {\arctan {\frac {y}{x}}}{3}})}$,

${\displaystyle {\sqrt[{6}]{x^{2}+y^{2}}}(\cos {\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}+2\pi )}{3}}+i\sin {{\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}+2\pi )}{3}})}}$ ja

${\displaystyle {\sqrt[{6}]{x^{2}+y^{2}}}(\cos {\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}-2\pi )}{3}}+i\sin {{\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}-2\pi )}{3}})}}$.

• Kuutio (algebra)
• Neliöjuuri
• Kuution kahdentaminen
• Juuri (laskutoimitus)

1. Simo K. Kivelä: ”Kompleksiluvun juuret”, Kompleksiluvut, s. 8. , 2009. Teoksen verkkoversio.
2. Olli Lehto: ”Kompleksiluvut: Itseisarvo ja argumentti”, Funktioteoria 1 ja 2, s. 7. Limes ry, 1980. ISBN 951-745-077-X.