Kuntalaajennus

Olkoon annettu kaksi kuntaa K ja L. Jos K on L:n osajoukko ja K:n yhteen- ja kertolasku ovat samat kuin L:ssä, sanotaan, että K on L:n alikunta, L on K:n laajennus ja L/K on kuntalaajennus.

Jos L on F:n laajennus, joka taas on K:n laajennus, sanotaan F:ää L/K:n välikunnaksi tai alilaajennukseksi.

Jos on annettu laajennus L/K ja L:n osajoukko S, merkitään K(S):llä pienintä L:n alikuntaa, joka sisältää K:n ja S:n. Sanotaan, että K(S) on saatu adjungoimalla S:n alkiot K:hon. Jos S sisältää vain yhden alkion s, merkitään K({s}):n asemesta usein K(s). Kuntalaajennus muotoa L=K(s) on nimeltään yksinkertainen laajennus, ja s on tämän laajennuksen alkualkio.

Jos on annettu kuntalaajennus L/K, voidaan L:ää ajatella K-kertoimisena vektoriavaruutena. Tällöin L:n alkiot ovat vektoreita ja K:n alkiot skalaareita. Tämän vektoriavaruuden dimensio määritellään kuntalaajennuksen asteeksi ja tätä merkitään [L : K].

Astetta 1 oleva laajennus on nimeltään triviaali laajennus. Äärelliseksi laajennukseksi sanotaan laajennusta, jonka aste on äärellinen. Muutoin laajennus on ääretönasteinen.

Merkintä L/K on täysin formaali, eikä se sisällä mitään tietoa tekijärenkaasta eikä tekijäryhmästä eikä muusta vastaavasta algebrallisesta rakenteesta.

Usein on käytännöllistä puhua kuntalaajennuksen tapaisesta tilanteesta, missä pienempi kunta ei sisälly isompaan, mutta se voidaan upottaa luonnollisesti sinne. Tässä tapauksessa voidaan määritellä kuntalaajennus kahden kunnan välisenä injektiivisenä rengashomomorfismina.

Jokainen annetun kahden kunnan välinen rengashomomorfismi on injektiivinen, joten kuntalaajennukset ovat täsmälleen kuntien kategorian morfismit. Tämän takia ei kuntalaajennuksia käsitellessä tarvita välttämättä injektiivisiä homomorfismeja, vaan tarvittavat homomorfismin ominaisuudet voidaan saada selville jo annetuista kunnista.