Kunta (matematiikka)

Joukko ${\displaystyle K(+,\cdot )}$ on kunta, jos se täyttää seuraavat ehdot:

1. Kaikilla ${\displaystyle x,y,z}$ on ${\displaystyle x+(y+z)=(x+y)+z}$ (summan liitäntälaki)
2. ${\displaystyle K}$:ssa on nolla-alkio ${\displaystyle 0}$ niin, että kaikilla ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle x+0=x}$ (summan neutraalialkio)
3. Kaikilla ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle K}$:ssa vasta-alkio ${\displaystyle -x}$ siten, että ${\displaystyle x+(-x)=0}$
4. Kaikilla ${\displaystyle x,y}$ on ${\displaystyle x+y=y+x}$ (summan vaihdantalaki)
5. Kaikilla ${\displaystyle x,y,z}$ on ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$ (osittelulaki 1)
6. Kaikilla ${\displaystyle x,y,z}$ on ${\displaystyle x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z}$ (tulon liitäntälaki)
7. ${\displaystyle K}$:ssa on ykkösalkio ${\displaystyle 1}$ siten, että kaikilla ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle 1\cdot x=x}$ (tulon neutraalialkio)
8. Kaikilla ${\displaystyle x}$ paitsi ${\displaystyle 0}$:lla on ${\displaystyle K}$:ssa käänteisalkio ${\displaystyle x^{-1}}$ siten, että ${\displaystyle x\cdot x^{-1}=1}$ (tulon käänteisalkio)
9. Kaikilla ${\displaystyle x,y}$ on ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$ (tulon vaihdantalaki)

Määritelmässä siis käytetään kahta laskutoimitusta. Vähennyslasku voidaan määritellä summan ja vasta-alkion avulla, ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$, ja jakolasku vastaavasti tulon ja käänteisalkion avulla.

Toisella tavalla sanoen kunta on kommutatiivinen rengas joka sisältää kaikkien alkioidensa ${\displaystyle a\neq 0}$ käänteisalkiot.

Tunnetuimmat kunnat ovat rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ. Reaaliluvut ovat rationaalilukujen kuntalaajennus ja kompleksiluvut reaalilukujen kuntalaajennus, mutta kaikki kunnat eivät muodosta samanlaista laajennusten jonoa. Esimerkiksi gaussin rationaalit, eli kompleksiluvut joiden reaali- ja imaginääriosat ovat rationaalilukuja, muodostavat kunnan. Gaussin rationaalit ja reaaliluvut eivät ole kumpikaan toisensa kuntalaajennuksia.

Muita äärettömiä kuntia ovat esimerkiksi algebralliset lukukunnat ${\displaystyle \mathbf {Q} (\mu )}$, kaikkien algebrallisten lukujen kunta 𝔸, ja polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot.

Äärellinen kunta syntyy yksinkertaisimmin siten, että joukoksi valitaan kokonaisluvut ${\displaystyle 0,1,2,\ldots ,p-1}$, jossa p on alkuluku, ja yhteenlasku ja kertolasku määritellään s.e. tuloksesta otetaan jakojäännös luvulla ${\displaystyle p}$.

Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole – alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion ${\displaystyle 0}$ ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty ${\displaystyle 1}$ vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).

• Kunnan F nollasta eroavat alkiot (merkitään yleensä F^×) on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Jokainen F^×:n äärellinen aliryhmä on syklinen.

• Jokainen kunta on kokonaisalue.

• Äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä on aina alkuluvun potenssi.

• Kunta on rengas jolla ei ole muita ideaaleja kuin {0} ja kunta itse.

• Jokaiselle kunnalle F on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen kunta G jonka alikunta F on, kaikki F:n alkiot ovat algebrallisia G:ssä ja G on algebrallisesti suljettu. Tällöin G:tä kutsutaan F:n algebralliseksi laajennukseksi.

• Pseudoäärellinen kunta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).