Kovarianssi

Diskreetin satunnaismuuttujaparin kovarianssi lasketaan

${\displaystyle \sigma _{XY}=\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}(x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})f_{XY}(x,y),}$ [1]

missä ${\displaystyle f_{XY}(x,y)}$ on yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio.

Jatkuvan satunnaismuuttujaparin kovarianssi on taas

${\displaystyle \sigma _{XY}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})f_{XY}(x,y)dydx,\,}$ [1]

missä ${\displaystyle f_{XY}(x,y)}$ on yhteisjakauman tiheysfunktio.

Yleisessä tilanteessa satunnaismuuttujat ovat toisistaan riippuvia jossakin mielessä. Silloin kovarianssi voidaan kehittää edelleen hyödyntämällä odotusarvo-operaattorin tunnetut ominaisuudet:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (X,Y)&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])]\\&=\operatorname {E} [XY-X\operatorname {E} [Y]-\operatorname {E} [X]Y+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]]\\&=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]\\&=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]\\&=\operatorname {E} [XY]-\mu _{X}\mu _{Y}.\end{aligned}}}$

Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, saadaan odotusarvoksi

${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]=\mu _{X}\mu _{Y}.}$

Yleisen kovarianssin kehitetystä lausekkeesta tulee silloin

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]\\&=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]=0.\end{aligned}}}$

Siten, jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia toisistaan, saadaan kovarianssiksi nolla. Päinvastainen ei pidä aina paikkaansa, sillä kovarianssin ollessa nolla, ei satunnaismuuttujat aina ole riippumattomia toisistaan.[2][1]

Kovarianssin yksikkö määräytyy satunnaismuuttujien tulosta. Koska korrelaation arvo jää välille ${\displaystyle -1\leq r_{XY}\leq 1}$, saadaan kovarianssin arvolle väli ${\displaystyle -\sigma _{X}\sigma _{Y}\leq \sigma _{XY}\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}}$, missä ${\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{Y}}$ on keskihajontojen tulo.

Kovarianssille voidaan johtaa seuraavia laskusääntöjä (${\displaystyle a,b}$ ovat reaalivakioita):

${\displaystyle \sigma (X,a)=0\,}$

${\displaystyle \sigma (X,X)=\sigma ^{2}(X)\,}$ eli ${\displaystyle \sigma _{XX}=\sigma _{X}^{2}}$ [2][3][1] (varianssi)

${\displaystyle \sigma (X,Y)=\sigma (Y,X)\,}$ [2] (symmetrisyys)

${\displaystyle \sigma (aX,bY)=ab\,\sigma (X,Y)\,}$ (kertoimien ulosotto)

${\displaystyle \sigma (X+a,Y+b)=\sigma (X,Y)\,}$ (vakionlisäys)

${\displaystyle \sigma (X+Z,Y)=\sigma (X,Y)+\sigma (Z,Y)\,}$ [2] (summan kovarianssi)

${\displaystyle \sigma (aX+bY,cW+dV)=ac\,\sigma (X,W)+ad\,\sigma (X,V)+bc\,\sigma (Y,W)+bd\,\sigma (Y,V)}$ (lineaarikombinaatiot)

${\displaystyle \sigma \left(\sum _{i}{X_{i}},\sum _{j}{Y_{j}}\right)=\sum _{i}{\sum _{j}{\sigma \left(X_{i},Y_{j}\right)}}}$ [2] (useiden satunnaismuuttujien summat)