Kosinilause

Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä

Oletetaan, että kulma ${\displaystyle \gamma }$ on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:

${\displaystyle {\begin{cases}h^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}\\h^{2}=c^{2}-u^{2}\end{cases}}}$

Tästä saadaan ${\displaystyle c^{2}-u^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}}$

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-u^{2}&=a^{2}-(b^{2}-2bu+u^{2})\\u&={\frac {b^{2}-a^{2}+c^{2}}{2b}}\end{aligned}}}$

Kulman ${\displaystyle \gamma }$ kosini on kuvion mukaan

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\gamma )&={\frac {b-u}{a}}={\frac {\displaystyle {\frac {2b^{2}}{2b}}-\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}+c^{2}}{2b}}}{a}}\\&={\frac {2b^{2}-b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2ab}}\\&={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\end{aligned}}}$

Yhtälö saadaan muotoon ${\displaystyle 2ab\,\cos(\gamma )=a^{2}+b^{2}-c^{2}}$.

Todistus sujuu samoin, jos kulma ${\displaystyle \gamma }$ on tylppä.

Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=|{\overrightarrow {AB}}|^{2}=|{\overrightarrow {CB}}-{\overrightarrow {CA}}|^{2}\\&=({\overrightarrow {CB}}-{\overrightarrow {CA}})\cdot ({\overrightarrow {CB}}-{\overrightarrow {CA}})\\&={\overrightarrow {CB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}+{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {CA}}-2{\overrightarrow {CB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \end{aligned}}}$

• Sinilause
• Tangenttilause
• Kotangenttilause

• Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla
• Erilainen todistus kosinilauseelle Solmussa
• Opetushallitus, etälukio: Kosinilause (Arkistoitu – Internet Archive)