Kontraktio

Funktio ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ on kontraktio, jos riippumatta luvuista ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ on olemassa ${\displaystyle 0\leq q<1}$ siten, että

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla:[1] funktio ${\displaystyle f:X\rightarrow Z}$ on kontraktio, jos riippumatta pisteistä ${\displaystyle x,y\in X}$ on olemassa ${\displaystyle 0\leq q<1}$ siten, että

missä ${\displaystyle d_{Z}}$ ja ${\displaystyle d_{X}}$ ovat avaruuksien ${\displaystyle Z}$ ja ${\displaystyle X}$ metriikat, vastaavasti.

Funktio ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{3}}}$ on kontraktio. Nimittäin nyt

eli ${\displaystyle q={\tfrac {1}{3}}}$.

Funktio ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

Olkoon ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ derivoituva, missä ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ on väli. Tällöin ${\displaystyle f}$ on kontraktio jos ja vain jos ${\displaystyle \sup _{x\in I}|f'(x)|<1}$.

Todistus: Olkoon ${\displaystyle r=\sup _{x\in I}|f'(x)|}$. Jos ${\displaystyle r<1}$, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella

kaikilla ${\displaystyle x,y\in I}$ joten tällöin ${\displaystyle f}$ on kontraktio. (Jos ${\displaystyle I}$ ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos ${\displaystyle q<r}$, niin on olemassa ${\displaystyle x\in I}$ siten, että ${\displaystyle \delta =|f'(x)|-q>0}$. Tällöin on olemassa ${\displaystyle y\in I\setminus \{x\}}$ siten, että

jolloin ${\displaystyle \left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|>|f'(x)|-\delta >q}$. Siis mikään ${\displaystyle q<r}$ ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis ${\displaystyle r\geq 1}$, niin ${\displaystyle f}$ ei ole kontraktio, MOT.

• Banachin kiintopistelause

1. Jussi Väisälä: Topologia I. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-184-9.