Kompleksikonjugaatti

Kompleksikonjugaatti (myös liittoluku) kompleksiluvulle saadaan, kun vaihdetaan sen imaginaariosan etumerkki. Kompleksiluvun ${\displaystyle z}$ kompleksikonjugaatista käytetään merkintää ${\displaystyle z^{*}}$[1] tai ${\displaystyle {\bar {z}}}$[2].

Luku ${\displaystyle z}$ ja sen kompleksikonjugaatti ${\displaystyle {\bar {z}}}$ kompleksitasolla, jossa siis Im tarkoittaa luvun imaginaariosaa ja Re reaaliosaa.

Kompleksiluvun

${\displaystyle z=a+bi}$

kompleksikonjugaatti on

${\displaystyle z^{*}={\bar {z}}=(a+bi)^{*}=a-bi,}$[1]

missä ${\displaystyle i}$ on imaginaariyksikkö.

Määritelmästä seuraa, että liittolukujen summa ja tulo ovat reaalilukuja

${\displaystyle z+{\bar {z}}=2a}$

${\displaystyle z{\bar {z}}=a^{2}+b^{2}}$

Jos kompeksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla, eli

${\displaystyle z=re^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta \,\!}$,

niin sen kompleksikonjugaatti on

${\displaystyle {\bar {z}}=re^{-i\theta }=r\cos \theta -ir\sin \theta .}$