Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Jos kolmion kärkien koordinaatit merkitään ${\displaystyle \scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),}$ ${\displaystyle \scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})}$, voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,}$ [2]

joka on evaluoituna

${\displaystyle a(x^{2}+y^{2})+b_{x}x+b_{y}y+c=0,}$ [2]

missä

${\displaystyle a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},}$

x:n kerroin ${\displaystyle b_{x}}$ saadaan matriisista

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{bmatrix}}}$

jättämällä ${\displaystyle x_{i}}$ termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti ${\displaystyle b_{y}}$:n suhteen) determinantista

${\displaystyle b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}}$

ja

${\displaystyle b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}},}$

ja vakiotermi c

${\displaystyle c\equiv -{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\\\end{vmatrix}}.}$

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},}$ [2]

missä keskipisteen koordinaatit ovat

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b_{x}}{2a}}}$

ja

${\displaystyle y_{0}=-{\frac {b_{y}}{2a}}}$

sekä säde

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-4ac}}{2|a|}}.}$ [2]

Jos kolmion sivujen pituudet merkitään a, b ja c, on säde

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}}.}$ [1]

Jos kolmiosta tunnetaan sivu ja sen vastainen kulma, saadaan Sinilauseesta

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}.}$ [1][6]

Tasasivuisen kolmion, jonka sivun pituus on a, ympäröivän ympyrän säde R on

${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}.}$

Tasakylkisellä kolmiolla, jossa kylkien pituudet ovat a ja kannan pituus b säde on

${\displaystyle R={\frac {a^{2}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}.}$ [1]

Ympyrän säde on puolet hypotenuusan c eli kolmion pisimmän sivun pituudesta

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}c}$

ja keskipisteen paikka on hypotenuusan keskipisteessä (Thaleen lause).[1][7]