Kolmioluku

Keilat asetetaan kolmioluvun ${\displaystyle T_{4}=10}$ tapaan tetraktyksen muotoon. [4] Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun ${\displaystyle T_{5}=15}$ tapaan.

Pedon luku on kolmioluku ${\displaystyle T_{6\cdot 6}=T_{36}=}$ 666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat. [3]

(Kuvio 1) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä pienempi kolmioluku.

(Kuvio 2) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä suurempi kolmioluku.

Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. [3] Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku ${\displaystyle C_{n}}$.

${\displaystyle T_{n}^{2}-T_{n-1}^{2}=n^{3}=C_{n}}$

Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan ${\displaystyle T_{3}^{2}-T_{2}^{2}=6^{2}-3^{2}=36-9=27=3^{3}=C_{3}.}$

Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.

${\displaystyle T_{n}^{2}+T_{n-1}^{2}=T_{n^{2}}}$

Kun esimerkiksi n = 3, saadaan ${\displaystyle T_{3}^{2}+T_{2}^{2}=6^{2}+3^{2}=36+9=45=T_{9}=T_{3^{2}}.}$

Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.

${\displaystyle 3T_{n}+T_{n-1}=T_{2n}}$ (kuvio 1)

${\displaystyle 3T_{n}+T_{n+1}=T_{2n+1}}$ (kuvio 2)

Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.

${\displaystyle 1+3+5+\dots +(2n-1)=T_{n}+T_{n-1}}$

Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.

Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku ${\displaystyle N_{n}}$:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n^{2}+n+n^{2}-n}{2}}=n^{2}=N_{n}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}}$

Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.

	${\displaystyle T_{3}+T_{4}=6+10=16=4^{2}=N_{4}}$
	${\displaystyle T_{4}+T_{5}=10+15=25=5^{2}=N_{5}}$

Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta.

${\displaystyle 8T_{n}+1=N_{2n+1}=(2n+1)^{2},}$ eli tässä kuvan mukaisessa tapauksessa ${\displaystyle 8T_{7}+1=225=15^{2}=(2\cdot 7+1)^{2}=N_{15}.}$ [3]

Toinen vastaava esimerkki on

${\displaystyle T_{n-1}+6T_{n}+T_{n+1}=N_{2n+1}=(2n+1)^{2}.}$ [3]

Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti

${\displaystyle T_{1}-T_{2}+T_{3}-T_{4}+\dots +T_{2n-1}=N_{n}=n^{2}}$

saadaan tulokseksi neliöluku. [3]

Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku ${\displaystyle H_{n}}$: ${\displaystyle H_{n}=T_{2n-1}}$ [3]

Jokainen viisikulmioluku ${\displaystyle P_{n}}$ on kolmasosa kolmioluvusta: ${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}}$ [3]

Jos ${\displaystyle S_{n}}$ on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi ${\displaystyle 5S_{n}+1=T_{i}}$, joka on kolmioluku ${\displaystyle T_{i}}$.

Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots +n^{3}=T_{n}^{2}={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}}$ [3]

Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+\dots +(2n-1)^{3}=T_{2n^{2}-1}=n^{2}(2n^{2}-1)}$ [3]

Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. [3]

Kaikki luvun ${\displaystyle 4T_{n}+1}$ jakajat ovat muotoa ${\displaystyle 4k+1}$ ja samoin on laita lukujen ${\displaystyle 6T_{n}+1}$, jotka ovat kaikki muotoa ${\displaystyle 6k+1}$. Muotoa ${\displaystyle 10T_{n}+1}$ olevilla luvuilla on jakajina luvut ${\displaystyle 10k+1}$ ja ${\displaystyle 10k-1}$ eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. [3]

Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja ${\displaystyle T_{p}}$, jossa p on alkuluku. Kaikki ${\displaystyle P>6}$ ovat muotoa ${\displaystyle P=1+9T_{n}=T_{3n+1},}$ missä ${\displaystyle T_{n}}$ on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa ${\displaystyle n=8i+1.}$ [3]

Kombinatoriikassa ${\displaystyle n}$-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä ${\displaystyle {n \choose 2}}$ monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku ${\displaystyle T_{n-1}.}$ [3]

Kolmiolukuja ${\displaystyle T_{n}=1+2+3+4+\dots +n}$ voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot n.}$ [3]

Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}|x-y|^{n}\,dx\,dy={\frac {1}{T_{n+1}}}={\frac {2}{(n+1)(n+2)}}.}$ [3]