Keskinormaali

Janalle voidaan piirtää keskinormaali käyttäen vain harppia ja viivainta. Merkitään janan päätepisteet A ja B. Otetaan harppiin säteeksi janan mitta ja piirretään ympyrät keskipisteinään A ja B. Ympyränkaaret leikkaavat kahdessa pisteessä C ja D, mikäli säteet ovat riittävän pitkät. Pisteen C etäisyydet janan päätepisteistä A ja B ovat yhtä suuret, ja samoin on pisteen D kohdalla. Silloin C ja D ovat kaksi keskinormaalin pistettä. Piirretään pisteiden C ja D kautta keskinormaalin suora.[6]

Kaikki kolme kolmion keskinormaalia leikkaavat samassa pisteessä.[8] Tätä pistettä kutsutaan kolmion merkilliseksi pisteeksi [9] ja Eulerin suoran yhdeksi pisteeksi.[10]

Tämä piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.[11][12][13][14] Koska keskipiste on ympyrän keskipiste ja kolmion kärjet sijaitsevat ympyrällä, on ovat janat keskipisteestä kolmion kärkiin ympyrän säteitä ja siten keskenään yhtä pitkät. Keskipiste on siten piste, joka on yhtä kaukana kolmion kaikista kärjistä. Yhtä pitkien säteiden rajoittamat kolmiot ovat siten tasasivuisia kolmioita. Keskinormaalit ovat näiden kolmioiden korkeusjanat ja halkaisevat kolmiot kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmioon.

Kolmiolla on kolme keskinormaalia, yksi kullakin sivulla. Keskinormaalit eivät useinkaan kulje vastakkaisen kärjen kautta. Ne leikkaavat yhteisessä pisteessä.

Keskinormaalien leikkauspiste on kolmion ympäri piirrettävän ympyrän keskipiste.

Ympyrän siniset säteet on merkitty leikkauspisteestä H kolmion kärkiin A, B ja C. Niiden rajoittamat kolmiot AHC, BHC ja AHB ovat tasakylkisiä kolmioita.

Merkitään janan päätepisteitä ${\displaystyle \scriptstyle A(x_{A},y_{A})}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle B(x_{B},y_{B})}$. Janan keskipiste M on ${\displaystyle \scriptstyle M(x_{0},y_{0})=M\left({\frac {x_{B}+x_{A}}{2}},{\frac {y_{B}+y_{A}}{2}}\right).}$ [15] Tämän pisteen kautta kulkeva normaali on janan keskinormaali. Sen kulmakerroin päätellään janan kulmakertoimesta, joka on

${\displaystyle k_{j}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}.}$ [15]

Kulmakertoimien kohtisuoruusehdon mukaisesti normaalin kulmakertoimeksi saadaan

${\displaystyle k_{n}={\frac {-1}{k_{j}}}=-{\frac {x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}}.}$ [15]

Keskinormaalin yhtälö voidaan kirjoittaa keskipisteen M ja kulmakertoimen k_n avulla [16]

${\displaystyle y-{\frac {y_{B}+y_{A}}{2}}=-{\frac {x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}}\left(x-{\frac {x_{B}+x_{A}}{2}}\right),}$

joka on normaalimuodossa

${\displaystyle (x_{B}-x_{A})x+(y_{B}-y_{A})y-{\tfrac {1}{2}}\left((y_{B}^{2}-y_{A}^{2})+(x_{B}^{2}-x_{A}^{2})\right)=0.}$