Keskinen kolmio

Keskinen kolmio ${\displaystyle M_{a},\,M_{b}\,ja\,M_{c}}$ on yhdenmuotoinen ${\displaystyle \triangle ABC}$ kanssa. Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion ${\displaystyle M_{a},\,M_{b}\,ja\,M_{c}}$ sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi ${\displaystyle a\,ja\,a'}$. Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ kulmien kanssa.[3][4]

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ sivuista

${\displaystyle a'={\tfrac {1}{2}}a,\ b'={\tfrac {1}{2}}b\ ja\ c'={\tfrac {1}{2}}c.}$ [3]

Keskisen kolmion pinta-ala ${\displaystyle \triangle _{M_{a}M_{b}M_{c}}}$ on

${\displaystyle \triangle _{M_{a}M_{b}M_{c}}={\tfrac {1}{4}}\triangle _{ABC}.}$ [3][4]

Kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ ja kärjen ${\displaystyle A}$ väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio ${\displaystyle \triangle ABC}$ voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala.[3] Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ kärjestä, ovat suunnikkaita.[4]

Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus ${\displaystyle X_{2}}$ [5]). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ keskijanoihin.[6] Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.[3][7][4]

Kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus ${\displaystyle X_{3}}$ [5]).[7] Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion ${\displaystyle \triangle ABC}$ yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus ${\displaystyle X_{10}}$ [5]).[3][4]

Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle M_{a}=0:{\tfrac {1}{b}}:{\tfrac {1}{c}}}$, ${\displaystyle M_{b}={\tfrac {1}{a}}:0:{\tfrac {1}{c}}}$ ja ${\displaystyle M_{c}={\tfrac {1}{a}}:{\tfrac {1}{b}}:0.}$ [8]

Trilineaarinen matriisi on siksi

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&b^{-1}&c^{-1}\\a^{-1}&0&c^{-1}\\a^{-1}&b^{-1}&0\end{bmatrix}}.}$ [3]