Kenttäviiva

Kenttäviiva on vektorikenttään liittyvä käyrä, jonka tangentti käyrän jokaisessa pisteessä on kentän suuntainen. Kenttäviivoja käytetään havainnollistamaan vektorikenttiä, joita on vaikea kuvata ilman niitä. Samoin kuin leveys- ja pituuspiirit pallon pinnalla tai korkeuskäyrät topografikartalla, eivät kenttäviivatkaan ole todellisia fysikaalisia viivoja, jotka todella olisivat kentässä tietyissä kohdissa, vaan ne ovat vain kentän havainnollistamiseksi keksitty apuväline.

Sähkökenttien kenttäviivoja. Vasemmalla kenttäviivat positiivisen, keskellä negatiivisen varauksen ympärillä. Oikealla tilanne, kun varausta ei ole.

Vasemmalla kenttäviivat kahden lähellä toisiaan olevan positiivisen varauksen ympärillä. Oikealla kenttäviivat sähköisen dipolin ympärillä, jonka muodostavat positiivinen ja negatiivinen varaus.

Käyrät, jotka kulkevat kohtisuoraan kaikkia voimaviivoja vastaan kutsutaan ekvpotentiaalikäyriksi. Ne ovat usein itseensä sulkeutuvia.

Kenttäviivat ovat kaikkialla kohtisuorassa kentän ekvipotentiaaleja eli sellaisia pintoja vastaan, joilla kentän potentiaali on vakio.[1]

Täsmällinen määritelmä

Vektorikenttä on avaruuden jokaisessa pisteessä tietyn suuntainen, paitsi missä se on nolla. Vektorikentän kenttäviiva voidaan muodostaa piirtämällä jostakin kentän pisteestä alkava viiva, joka jokaisessa kohdassaan on kentän suuntainen. Täsmällisemmin sanottuna käyrän tangentti on joka kohdassa saman suuntainen kuin kenttä kyseessä pisteessä.[2] Saman kentän kenttäviivat eivät leikkaa toisiaan.

Täydellinen geometrinen kuvaus vektorikentän kaikista kenttäviivoista riittää täysin määrittämään vektorikentän suunnan kaikkialla. Jotta kenttäviivat ilmaisisivat myös vektorikentän suuruuden, valitaan piirrettäväksi vain tietty määrä kenttäviivoja siten, että näitä viivoja on eri alueilla sitä tiheämmässä, mitä suurempi itseisarvoltaan vektorikenttä missäkin on. Toisin sanoen kenttää vastaan kohtisuorien kenttäviivojen lukumäärä pinta-alayksikköä kohti on suoraan verrannollinen vektorikentän suuruuteen tällä alueella.[2]

Divergenssilauseen mukaan kentät alkavat alueilta, joissa vektorikentän divergenssi on positiivinen ja päättyvät alueille, joissa sen divergenssi on negatiivinen. Edellisiä sanotaan kentän lähteiksi, jälkimmäisiä nieluiksi. Fysiikassa kenttäviivojen piirtäminen on kätevää varsinkin tapauksissa, joissa mahdollisilla lähteillä ja nieluilla on jokin selvä fysikaalinen merkitys (toisin kuin esimerkiksi radiaalisen harmonisen oskillaattorin tapauksessa).

Esimerkkejä

Sähkökenttä

Gaussin lain mukaan sähkökentän lähteitä ovat positiiviset, nieluja negatiiviset varaukset ja vain ne. Näin ollen kenttäviivat alkavat positiivisista ja päättyvät negatiivisiin varauksiin[2], elleivät ne ulotu jommassakummassa päässään äärettömän kauas. Sitä vastoin sellaisen sähkökentän kenttäviivat, joka syntyy Faradayn induktiolain mukaisesti muuttuvassa magneettikentässä syntyy myös sähkökenttä, mutta tässä tapauksessa sen kenttäviivat voivat olla myös suljettuja käyriä tai ulottua molemmissa päissään äärettömän kauas.

Jotta kenttäviivat, joiden niiden tiheys on verrannollinen kentän suuruuteen, kuvaisivat tilannetta oikein, on kuitenkin otettava huomioon kaikki kolme ulottuvuutta. Ajatellaan esimerkkinä yksittäisen eristetyn pistevarauksen sähkökenttää. Tässä tapauksessa kenttäviivat ovat suoria viivoja, joita lähtee varauksesta kaikkiin suuntiin kolmiulotteisessa avaruudessa. Tämä merkitsee, että niiden tiheys on kääntäen verrannollinen varauksesta mitatun etäisyyden neliöön (suoraan verrannollinen lausekkeeseen $1/r^{2}$ ), samoin kuin Coulombin lain mukaan onkin sähkökentän voimakkuuden laita. Jos kuitenkin kenttäviivoja piirretään vain kaksiulotteiselle tasolle, niiden kaksiulotteinen tiheys tuleekin kääntäen verrannolliseksi etäisyyteen, mikä ei vastaa sähkökentän voimakkuutta eri kohdissa.[3]

Magneettikenttä

Ehkä tunnetuin esimerkki vektorikentästä on magneettikenttä, jota usein havainnollistetaan magneettia ympäröivien kenttäviivojen avulla.

Gaussin lain magneettikentällä ei ole lähteitä eikä nieluja, minkä vuoksi kenttäviivoilla ei ole alkua eikä loppua. Ne ovat joko suljettuja käyriä tai ulottuvat molemmissa päissään äärettömän kauas. Toisinaan ne piirretään alkamaan magneetin pohjoisnavasta ja päättymään sen etelänapaan, mutta itse asiassa niiden on ajateltava jatkuvan myös magneetin sisällä sen etelänavasta pohjoisnapaan, jolloin niistä muodostuu joko suljettuja tai molemmissa päissään äärettömyyteen ulottuvia käyriä.

Gravitaatiokenttä

Gravitaatiokentällä ei ole lähteitä, mutta sillä on nielu kaikkien massallisten kappaleiden kohdalla. Näin ollen gravitaatiokentän kenttäviivoilla ei ole alkukohtaa vaan ne tulevat äärettömän kaukaa, mutta ne päättyvät massoihin.

Esimerkkejä

Myös virtaavaa ainetta, nestettä tai kaasua, voidaan kuvata kenttäviivoilla. Tällöin niiden suunta kussakin paikassa esittää virtauksen suuntaa, tiheys taas sen nopeutta.

Divergenssi ja roottori

Kenttäviivojen kulku osoittaa myös, onko kenttä pyörteetön tai lähteetön.

kentän divergenssi ilmenee selvästi kenttäviivoista, kunhan ne on piirretty siten, että niiden tiheys on verrannollinen kenttävektorin suuruuteen, kuten edellä on selitetty. Tässä tapauksessa kentän divergenssiä divergessi ilmenee tietyltä alueelta alkavien tai sinne päättyvien kenttäviivojen lukumäärästä. Jos vektorikenttä on sellaisten kenttien resultantti, joista jokainen on kääntäen verrannollinen etäisyyteen jostakin lähteestä, tämä vastaa sitä, että tällaisen kentän divergenssi lähteiden ulkopuolella on nolla. Lähteettömässä vektorikentässä, jonka divergenssi on kaikkialla nolla,[4] kenttäviivoilla ei ole alkua eikä loppua, vaan ne joko ovat suljettuja silmukoita tai ulottuvat molemmissa päissään äärettömän kauas. Jos vektorikentällä on jollakin alueella positiivinen divergenssi, sieltä alkaa kenttäviivoja. Jos taas sillä on jollakin alueella negatiivinen divergenssi, sinne päättyy kenttäviivoja.

Stokesin lauseesta seuraa, että jos vektorikentän roottori on kaikkialla nolla eli kenttä on pyörteetön[5] (konservatiivinen), sen kenttäviivat eivät voi olla suljettuja silmukoita. Näin on esimerkiksi gravitaatiokentän laita klassisen mekaniikan mukaan sekä sähköstaattisen kentän. Toisin sanoen roottori on aina nollasta poikkeava ainakin joillakin alueilla, jos kenttäviivat ovat suljettuja. Toisaalta vaikka kenttä olisikin nollasta poikkeava, kenttäviivat eivät välttämättä ole suljettuja silmukoita vaan ne voivat olla myös esimerkiksi ruuviviivan tapaan kierteisiä.

Fysikaalinen merkitys

Rautajyväset järjestyvät sillä tavoin, että ne suurin piirteen kuvaavat osaa magneettikentän kenttäviivoista. Magneettikentän synnyttää kestomagneetti.

Vaikka kenttäviivat ovat oikeastaan vain matemaattinen konstruktio, joissakin tilanteissa niillä on selvä fysikaalinen merkitys. Virtausmekaniikassa nopeuskentän kenttäviivat, virtausviivat, osoittavat virtaavan aineen hiukkasten liikeratoja. Plasmafysiikassa elektronit tai ionit, jota ovat samalla kenttäviivalla, vuorovaikuttavat keskenään voimakkaasti, kun taas eri kenttäviivoilla olevat hiukkaset eivät yleensä vuorovaikuta. Tässä suhteessa niiden käyttäytyminen muodostaa rautajyvästen käyttäytymistä magneettikentässä.

Jos magneetin ympärille levitetään rautajauhetta, sen jyväset kääntyvät ferromagneettisuutensa vuoksi kentän suuntaisiksi. Samalla ne magnetoituvat, jolloin kunkin jyväsen pohjoisnapa vetää puoleensa toisen kohtion etelänapaa. Tällä tavoin jyväsistä muodostuu ketjuja, jotka johtavat alkuperäisen magneetin toisesta navasta toiseen ja kulkevat sitä ympäröivän kentän kenttäviivojen mukaisesti.[6] Koska jyvästen oma magneettisuus muuttaa kenttää, niiden muodostamat viivat vastaavat kuitenkin vain likipitäen alkuperäistä magneettikenttää. Lisäksi todelliset magneettikentät ovat jatkuvia, eikä niissä ole erillisiä viivoja.

Katso myös

Lähteet

David J. Griffits: Introduction to Electrodynamics (3. painos), s. 65–67, 232. Prentice Hall, 1998. 0-13-805326-X.
Visualization of Fields and the Divergence and Curl Massachusetts Institute of Technology. Viitattu 9.10.2015.

Viitteet

Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Skalaariset esitykset”, Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 79-80. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.
Leena Lahti: ”Kenttäviivat. Sähkövuo”, Sähköoppi, s. 14. Gaudeamus, 1977. ISBN 951-662-044-2.
Electric field line diagrams don't work. Am. J. Phys., 1996, 64. vsk, nro 6, s. 714-724. DOI 10.1119/1.18237 Artikkelin verkkoversio.
Olli Lehto: Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 113. Offset Oy, 1978.
Olli Lehto: Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 69. Offset Oy, 1978.
K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkki Rosenberg, Matti Tiilikainen: ”Magneettikenttä, magneettivuon tiheys”, Lukion fysiikka 2, s. 150. WSOY, 1974. ISBN 951-0-05657-X.

Kirjallisuutta

Voipio, Erkki: Sähkö- ja magneettikentät. Moniste 381. Espoo: Otakustantamo, 1987. ISBN 951-672-038-2.

Aiheesta muualla

Interaktiivinen Java-applet, joka osoittaa sähkökentän kenttäviivat valittujen varausten ympärillä chair.pa.msu.edu. Arkistoitu 13.8.2011. Viitattu 9.10.2015.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Skalaariset esitykset”, Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 79-80. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.

[Lahti14-2] Leena Lahti: ”Kenttäviivat. Sähkövuo”, Sähköoppi, s. 14. Gaudeamus, 1977. ISBN 951-662-044-2.

[3] Electric field line diagrams don't work. Am. J. Phys., 1996, 64. vsk, nro 6, s. 714-724. DOI 10.1119/1.18237 Artikkelin verkkoversio.

[4] Olli Lehto: Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 113. Offset Oy, 1978.

[5] Olli Lehto: Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 69. Offset Oy, 1978.

[6] K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkki Rosenberg, Matti Tiilikainen: ”Magneettikenttä, magneettivuon tiheys”, Lukion fysiikka 2, s. 150. WSOY, 1974. ISBN 951-0-05657-X.