Kategoria (matematiikka)

Kategoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ koostuu seuraavista:[1] [2] [3] [4]

• luokka objekteja, jota merkitään ${\displaystyle Obj({\mathcal {C}})}$;
• jokaiselle objektiparille ${\displaystyle A,B\in Obj({\mathcal {C}})}$, luokka morfismeja ${\displaystyle A}$:sta ${\displaystyle B}$:hen, jota merkitään ${\displaystyle hom(A,B)}$ tai ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$; morfismia ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(A,B)}$ merkitään yleisesti ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, ja objekteja ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ kutsutaan morfismin ${\displaystyle f}$ lähtö- ja maaliobjektiksi; luokkaa, joka koostuu kaikista ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n morfismeista merkitään ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$;
• jokaiselle objektille ${\displaystyle A\in Obj({\mathcal {C}})}$ on olemassa identiteettimorfismi ${\displaystyle id_{A}:A\rightarrow A}$;
• jokaiselle morfismiparille ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ja ${\displaystyle g:B\rightarrow C}$ siten että ${\displaystyle f}$:n maaliobjekti on sama kuin ${\displaystyle g}$:n lähtöobjekti on olemassa yhdiste ${\displaystyle g\circ f:A\rightarrow C}$

siten että kaksi ehtoa pätevät:

• liitäntälaki: kaikille morfismeille ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, ${\displaystyle g:B\rightarrow C}$ ja ${\displaystyle h:C\rightarrow D}$ pätee

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$,

• identiteettilaki: kaikille morfismeille ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ pätee

${\displaystyle f\circ id_{A}=f}$ ja ${\displaystyle id_{B}\circ f=f}$.

Liitäntälain perusteella sulkeet voidaan jättää merkitsemättä useiden peräkkäisten yhdisteiden sarjassa. Yhdisteen symboli ${\displaystyle \circ }$ jätetään usein merkitsemättä, ja yhdiste merkitään tällöin ${\displaystyle gf}$. Identiteettilain seurauksena jokaisen objektin identiteettimorfismi on yksikäsitteinen: jokaiselle objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi, jolle identiteettilaki pätee.[5]

Kategoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ on[6]

• pieni, jos ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$ on joukko (eikä siis aito luokka),
• suuri, jos se ei ole pieni,
• lokaalisti pieni, jos jokainen ${\displaystyle hom(A,B)}$ on joukko,
• äärellinen, jos ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$ on äärellinen joukko
• lokaalisti äärellinen, jos jokainen ${\displaystyle hom(A,B)}$ on äärellinen joukko,[7]
• diskreetti, jos jokainen morfismi on identiteettimorfismi.

Kategoria on hyvin perustavanlaatuinen käsite, joten esimerkkejä kategorioista löytyy lähes jokaiselta matematiikan osa-alueelta. Näin ollen seuraava esimerkkilista on väistämättä puutteellinen, mutta se kuvaa hyvin kuinka yleisestä käsitteestä on kyse. Kussakin esimerkissä on ensiksi annettu objektien luokka ja toiseksi morfismien luokka:

• joukot ja funktiot,
• vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset,
• topologiset avaruudet ja jatkuvat funktiot,
• metriset avaruudet ja jatkuvat funktiot,
• ryhmät ja ryhmähomomorfismit,
• mitta-avaruudet ja mitalliset funktiot.

Kaikissa yllä listatuissa esimerkeissä kategorian rakenne muodostuu joukoista, joilla on määritelty jokin rakenne, kuten ryhmä tai topologia (objektit) ja tämän rakenteen säilyttävistä funktioista (morfismit). Alla on joitakin esimerkkejä, jossa näin ei ole.

• joukot ja binäärirelaatiot,
• mikä tahansa osittain järjestetty joukko, jonka alkiot ovat objekteja ja relaatiot ${\displaystyle a\leq b}$ morfismeja,
• mikä tahansa esijärjestys, jonka objektit ja morfismit määritellään samalla tavalla kuin osittain järjestetylle joukolle.

Kategorioita voidaan myös käyttää muiden matemaattisten käsitteiden määrittelyyn, esimerkiksi:

• monoidi on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti (morfismit nähdään tällöin monoidin alkioina),[10]
• grupoidi on kategoria, jossa jokainen morfismi on isomorfismi,[11]
• ryhmä on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti ja jokainen morfismi on isomorfismi,[11]
• esijärjestys on (pieni) kategoria, jossa jokaisen järjestetyn objektiparin välillä on enintään yksi morfismi,[12]
• osittain järjestetty joukko on (pieni) kategoria, jossa minkä tahansa kahden objektin välillä on enintään yksi morfismi.[12]

• Alakoskela, Riina. Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause. Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Joulukuu 2020. Viitattu 20.8.2021.
• Leinster, Tom. Basic Category Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 143. Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-04424-1. Verkkoversio. (englanniksi)
• Niskanen, Markus. Liittofunktorit. Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.
• Riehl, Emily. Category Theory in Context. Dover Publications. 2016. ISBN 978-0-486-80903-8. Verkkoversio. (englanniksi)