Mahtavuus

Äärellisten joukkojen vertailussa voidaan käyttää alkioiden laskemista. Kummankin joukon alkiot lasketaan ja verrataan kardinaaleja keskenään. Äärettömillä joukoilla käytetään induktiivista luettelointia. Siinä otetaan joukosta ${\displaystyle S}$ alkio ja liitetään siihen toisen joukon ${\displaystyle T}$ alkio pariksi. Jos jokaiselle alkiolle molemmissa joukoissa riittää pari, on joukot yhtä mahtavia eli ${\displaystyle S\sim T}$. Se joukko, jolta parinmuodostuksessa jää alkioita yli, on mahtavampi.

Tarkastellaan esimerkkinä kahta äärellistä joukkoa ${\displaystyle S=\{a,b,c,d\}}$ ja ${\displaystyle T=\{1,2,3\}}$. Vertailu tehdään ensin ottamalla aina joukon ${\displaystyle T}$ alkiolle pari joukosta ${\displaystyle S}$. Silloin saadaan parit ${\displaystyle \{(1,a),(2,b),(3,c)\}}$ ja joukon ${\displaystyle S}$ alkiot riittivät. Tämä ei vielä merkitse, että joukot ovat yhtä mahtavia. Parinmuodostus tulee onnistua myös toisin päin. Tällöin muodostetaan jokaiselle kirjaimelle pari numerosta. Tämä ei onnistu, koska kirjaimelle ${\displaystyle d}$ ei löydy tyhjentyneestä numerojoukosta paria. Siksi tuomitsemme joukon ${\displaystyle S}$ mahtavammaksi kuin joukon ${\displaystyle T}$.

Joukon ${\displaystyle S}$ mahtavuus merkitään joko ${\displaystyle |S|}$ tai ${\displaystyle card(S)}$. Yhtämahtavuus voidaan merkitä myös ${\displaystyle |S|=|T|}$ tai ${\displaystyle card(S)=card(T)}$. Jos joukko ${\displaystyle S}$ on mahtavampi kuin joukko ${\displaystyle T}$, merkitään ${\displaystyle |S|>|T|}$.

Äärettömillä joukoilla induktiivinen luetteloiminen ei aina onnistu. Tällöin yritetään löytää funktio eli kuvaus joukosta toiseen ja sille mahdollinen käänteiskuvaus. Kuvausten olemassaolosta ja laadusta päätellään joukkojen keskinäinen mahtavuus. Mahdolliset vaihtoehdot ovat:

• ${\displaystyle {\mbox{card}}(S)\leq {\mbox{card}}(T)\Leftrightarrow \exists f:S\rightarrow T}$ siten, että ${\displaystyle f}$ on injektio.
• ${\displaystyle {\mbox{card}}(S)\geq {\mbox{card}}(T)\Leftrightarrow \exists f:S\rightarrow T}$ siten, että ${\displaystyle f}$ on surjektio.
• ${\displaystyle {\mbox{card}}(S)={\mbox{card}}(T)\Leftrightarrow \exists f:S\rightarrow T}$ siten, että ${\displaystyle f}$ on bijektio.

Viimeinen väite saadaan kahdesta edellisesta tuloksesta Cantorin–Schröderin–Bersteinin lauseen avulla.

Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$ on yhtä mahtava osajoukkonsa ${\displaystyle \{2,4,6,...\}}$ kanssa. Tämä nähdään kahdella tavalla. Parinmuodostuksessa saadaan parijono ${\displaystyle \{(1,2),(2,4),(3,6),...,(n,2n),...\}}$, jossa pariksi valitaan toisesta joukosta aina kaksi kertaa suurempi luku. Käänteinen parinvalinta toimii niin, että parillisen luvun pariksi valitaan aina puolet pienempi luku. Tätä voisi jatkaa äärettömän monta kertaa ja siksi todetaankin, että parilliset luvut ja luonnolliset luvut ovat yhtä mahtavat.

Toinen menetelmä on keksiä joukkojen välille kuvaus, jolle löydetään käänteiskuvaus. Tällainen kuvauspari on funktio ${\displaystyle f(x)=2x}$ ja sen käänteisfunktio ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{2}}x}$. Näillä voidaan kuvata kaikki lähtöjoukon alkiot maalijoukon alkioiksi ilman, että yksikään alkio jäisi kuvaamatta. Funktio ja sen käänteisfunktio ovat bijektioita, ja joukot ovat yhtä mahtavia. [1]

Cantor tutki äärettömiä joukkoja ja havaitsi pian että jotkin joukot ovat "enemmän äärettömiä" kuin toiset. Tämä johti kardinaalilukujen vertailuun. Koska luonnolliset luvut tiedetään jo äärettömäksi joukoksi, merkitään niiden mahtavuutta kardinaaliluvulla ${\displaystyle \aleph _{0}=\infty }$ (lue:alef-0). Luonnollisisten lukujen joukosta sanotaan, että se on laskettavasti tai numeroituvasti ääretön, koska sen alkioista voidaan muodostaa alkiopareja verrattavan joukon alkioiden kanssa.

Cantor oletti, että oli olemassa suurempia kardinaalilukuja ja että ne voitiin järjestää suuruusjärjestykseen ${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<...}$. Suurempien joukkojen etsintä tuotti tulosta, kun hän osoitti reaalilukujen olevan suurempi joukko. Vieläkään ei tiedetä, onko reaalilukujen kardinaliteetti ${\displaystyle \aleph _{1}}$ tai ${\displaystyle \aleph _{2}}$ vai jokin muu. Toisin sanoen ei ole pystytty osoittamaan, onko olemassa ylinumeroituvaa joukkoa, jonka mahtavuus olisi pienempi kuin reaalilukujen joukon. Toistaiseksi reaalilukujen kardinaalilukuna käytetään merkintää c tai C (engl. continuum) tai joskus ${\displaystyle \beth _{1}}$ (lue: "beth"-1) ja se oli ensimmäinen todettu ylinumeroituvasti ääretön lukujoukko. Koska ylinumeroituva lukujoukko on mahtavampi kuin numeroituva joukko, on sen kardinaaliluku aina ääretön.