Kanta (topologia)

Olkoon X mielivaltainen joukko ja B kokoelma sen osajoukkoja. Tällöin B on jonkin X:n topologian kanta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. B:hen kuuluvat joukot peittävät koko X:n, toisin sanoen niiden yhdiste on X.
2. Olkoot B₁ ja B₂ B:hen kuuluvia joukkoja ja I niiden leikkaus. Silloin jokaista alkiota ${\displaystyle x\in I}$ kohti on olemassa kokoelmaan B kuuluva joukko B₃, johon x kuuluu ja joka sisältyy I:hin.[1]

Jos X:n osajoukkojen kokoelma B ei toteuta molempia ehtoja, se ei ole minkään X:n topologian kanta. Se on kuitenkin alikanta, samoin kuin jokainen kokoelma X:n osajoukkoa. Kääntäen jos B toteuttaa molemmat ehdot 1 ja 2, on olemassa yksikäsitteinen X:n topologia, jonka kanta B on; sitä sanotaan B:n generoimaksi topologiaksi. Tämä onkin hyvin yleinen tapa määritellä avaruuksien topologiat. Välttämätön, mutta ei riittävä ehto sille, että B generoi X:lle jonkin topologiaan, on että B on suljettu leikkausten suhteen eli kahden siihen kuuluvan joukon leikkauskin aina kuuluu siihen tai on tyhjä; silloin nimittäin joukko B₃ = I voidaan muodostaa edellä selitetyllä tavalla.

Esimerkiksi reaalilukujen joukossa kaikkien avointen välien joukko on reaalilukujen topologian kanta, koska kahden avoimen välin leikkaus on aina joko avoin väli tai tyhjä joukko. Itse asiassa juuri tämä kanta generoikin reaalilukujen joukon eli lukusuoran tavanomaisen topologian.

Topologisen avaruuden kanta ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen. Monet kannat, erisuuretkin, saattavat generoida saman topologian. Esimerkiksi sellaisten avointen välien joukko, joiden molemmat päätepisteet ovat rationaalilukuja, on myös reaalilukujoukon tavanomaisen topologian kanta, samoin kuin toisaalta sellaistenkin avointen välien joukko, joiden molemmat päätepisteet ovat irrationaalilukuja, mutta nämä kaksi joukkoa ovat täysin erillisiä ja molemmat sisältyvät kaikkien avointen välien joukkoon. Toisin kuin vektoriavaruuden kanta lineaarialgebrassa, topologisen avaruuden kanta ei välttämättä ole maksimaalinen; itse asiassa ainoa maksimaalinen kanta on avaruuden topologia (eli kaikkien avointen joukkojen kokoelma) itse. Mikä tahansa annetun kannan generoimaan topologiaan kuuluva avoin joukko voidaan lisätä kantaan, jolloin tuloksena on kanta, joka generoi saman topologian. Pienintä mahtavuutta, joka topologisen avaruuden jollakin kannalla on, sanotaan tämän avaruuden painoksi.

Esimerkkinä avointen joukkojen kokoelmasta, joka ei ole kanta, voidaan mainita kaikkien muotoa (−∞, a) tai (a, ∞) olevien toispuolisesti äärettömien välien joukko S, kun a on reaaliluku. Tämä joukko S ei ole minkään ${\displaystyle \mathbb {R} }$:n topologian kanta. Tämän todistamiseksi oletetaan, että se olisi. Siitä seuraisi, että esimerkiksi välit (−∞, 1) ja (0, ∞) kuuluisivat S:n generoimaan topologiaan, kuuluvathan ne sen kantaankin, ja silloin niiden myös niiden leikkauksen eli välin (0,1) pitäisi kuulua siihen. Mutta tätä väliä (0,1) selvästikään ei voida muodostaa S:ään kuuluvien joukkojen yhdisteenä. Edellä esitetyn kriteerin jälkimmäinen ehto ei täyty, sillä jos tältä väliltä valitaan piste x, ei ole sellaista väliin (0,1) sisältyvää joukkoa, joka kuuluisi kokoelmaan S.

• Jos X on täydellisesti järjestetty joukko, sen järjestystopologia voidaan määritellä avointen välien kaltaisten joukkojen muodostaman kannan generoimana topologiana.
• Jos X on metrinen avaruus, sillä on metriikan määrittelemä topologia, jonka kannan muodostavat avoimet pallot.
• N2-avaruus on topologinen avaruus, jolla on numeroituva kanta.
• Missä tahansa joukossa X voidaan määritellä diskreetti topologia, jonka kannan muodostavat joukon yksialkioiset osajoukot.

• Avoimen joukon U jokainen piste x kuuluu jonkin sellaiseen kannan joukkoon, joka on U:n osajoukko.
• Topologia T₂ on hienompi kuin topologia T₁, jos ja vain jos jokaista pistettä x ja jokaista topologian T₁ kantaan B kuuluvaa joukkoa kohti, johon x kuuluu, on olemassa sellainen T₂:n kantaan kuuluva joukko, johon x myös kuuluu ja joka myös kuuluu kantaan B.
• Jos B₁,B₂,...,B_n ovat topologioiden T₁,T₂,...,T_n kannat, niin karteesinen tulo B₁ × B₂ × ... × B_n on tulotopologian T₁ × T₂ × ... × T_n kanta. Tämä pätee silloinkin, kun kyseessä on ääretön tulo, paitsi että enintään äärellinen määrä kannan joukoista saa olla suppeampia kuin koko avaruus.
• Olkoon B X:n kanta ja Y jokin X:n aliavaruus. Jos tällöin muodostetaan jokaisen B:hen kuuluvan joukon ja Y:n leikkaus, saatu joukkokokoelma on aliavaruuden Y kanta.
• Jos kuvauksessa f:X → Y jokaisen X:n kantaan kuuluvan joukon kuva on Y:n avoin joukko f on avoin kuvaus. Jos taas jokaisen Y:n kantaan kuuluvan joukon alkukuva on X:n avoin joukko, f on jatkuva kuvaus.
• X:n osajoukkojen kokoelma on X:n topologia, jos ja vain jos se generoi itsensä.
• B on topologisen avaruuden X kanta, jos ja vain jos ne B:hen kuuluvat joukot, jotka sisältävät pisteen x, muodostavat x:n ympäristökannan, olipa x mikä tahansa X:n piste.

Avaruuden topologia voidaan kuvata, paitsi avoimen, yhtä hyvin myös sen suljettujen joukkojen avulla. Niinpä voidaankin määritellä kantaa vastaava käsite myös topologisen avaruuden suljetuille joukoille. Jos on annettu topologinen avaruus X, suljettujen joukkojen kokoelma F on suljettujen joukkojen kanta, jos ja vain jos jokaista suljettua joukkoa A ja jokaista A:han kuulumatonta pistettä x kohti on olemassa F:ään kuuluva suljettu joukko A, johon x ei sisälly.

On helppo todeta, että F on X:n suljettujen joukkojen kanta, jos ja vain jos F:ään kuuluvien joukkojen kompementit muodostavat X:n avointen joukkojen kannan.

Olkoon F avaruuden X suljettujen joukkojen kanta. Silloin pätee:

1. ∩F = ∅
2. Mille tahansa kahdelle F:ään kuuluvalle joukolle F₁ ja F₂ pätee, että unioni F₁ ∪ F₂ on joidenkin kokoelmaan F:ään kuuluvien joukkojen leikkaus, toisin sanoen jokaista pistettä x kohti, joka ei kuulu F₁:een eikä F₂:een, on olemassa F:ään kuuluva joukko F₃, johon F₁ ∪ F₂ sisältyy ja joka ei sisällä pistettä x.

Jokainen X:n osajoukkojen kokoelma, joka toteuttaa nämä ehdot, on jonkin X:n topologian suljettujen joukkojen kanta. Suljettuja joukkoja tässä kannassa ovat kokoelmaan F kuuluvien joukkojen leikkaukset sekä X itse.

Joissakin tapauksissa on mukavampaa käyttää suljettujen kuin avointen joukkojen kantaa. Esimerkiksi avaruus on täydellisesti säännöllinen, jos ja vain jos nollajoukot muodostavat suljettujen joukkojen kannan. Jokaisessa topologisessa avaruudessa X nollajoukot muodostavat X:n erään topologian suljettujen joukkojen kannan. Tämä topologia on hienoin niistä X:n täydellisesti säännöllisistä topologioista, jotka ovat karkeampia kuin X:n alkuperäinen topologia. Samaan tapaan Aⁿ:n Zariskin topologia määritellään valitsemalla polynomifunktioiden nollajoukot suljettujen joukkojen kannaksi.

Olkoon X topologinen avaruus. Käsitteet paino ja karakteeri määritellään seuraavasti:

• Avaruuden paino, w(X), on pienin mahtavuus, joka millään sen kannalla on;
• verkoston paino nw(X) on pienin mahtavuus, joka millään X:n verkostolla on;
• pisteen x karakteeri, ${\displaystyle \chi (x,X)}$ on pienin mahtavuus, joka millään x:n ympäristökannalla on; ja
• avaruuden X karakteeri on

${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}}$.[2]

Tässä verkosto on joukkoperhe ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, jolle pätee, että jokaista pistettä x ja jokaista x:n avointa ympäristöä kohti on olemassa sellainen perheeseen ${\displaystyle {\mathcal {n}}}$ kuuluva joukko B, että x ∈ B ⊆ U.

Laskemalla karakteeri ja paino voidaan selvittää, minkä tyyppisiä kantoja ja ympäristökantoja topologisessa avaruudessa on. Niitä koskevat seuraavat tulokset:

• nw(X) ≤ w(X).
• Jos X on diskreetti, niin w(X) = nw(X) = |X|.
• Jos X on Hausdorff-avaruus, niin nw(X) on äärellinen, jos ja vain jos X on äärellinen ja diskreetti.
• Jos B on X:n kanta, on olemassa kanta ${\displaystyle B'\subseteq B}$, jonka mahtavuus on ${\displaystyle |B'|\leq w(X)}$.
• Jos N on pisteen ${\displaystyle x\in X}$ ympäristökanta, niin on olemassa ympäristökanta ${\displaystyle N'\subseteq N}$, jonka mahtavuus on ${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X)}$.
• Jos f : X → Y on jatkuva surjektio, niin nw(Y) ≤ w(X). (Tarkastellaan yksinkertaisesti Y-verkostoa ${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$ jokaiselle X:n kannalle B.)
• Jos ${\displaystyle (X,\tau )}$ on Hausdorff-avaruus, X:lle on olemassa myös sellainen Hausdorffin ehdon toteuttava topologia ${\displaystyle (X,\tau ')}$, että ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau )}$. Tästä seuraa, että jos X on myös kompakti, nämä topologiat ovat samat, ja kun tämä yhdistetään ensimmäisen edellä mainitun tuloksen kanssa, todetaan, että nw(X) = w(X).
• Jos f : X → Y on jatkuva surjektiivinen kuvaus kompaktilta metristyvältä avaruudelta Hausdorff-avaruudelle, Y on kompakti ja metristyvä.

Viimeinen näistä tuloksista seuraa siitä, että X on kompakti Hausdorff-avaruus, on ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$, sillä kompaktit metriset avaruudet ovat aina N2-avaruuksia, jota paitsi kompakti Hausdorff-avaruus on metristyvä, jos ja vain jos se on N2-avaruus.

• Ympäristökanta

• A. V. Arkhangel'skij, V. I. Ponomarev: Fundamentals of general topology: Problems and excercises. Dordrecht: D. Reidel Publishing, 1984. Teoksen verkkoversio.
• Ryszard Engelking: General Topology. Varsova: Monografie Matematyczne, 1977. Teoksen verkkoversio.
• James Munkres: Topology: a First Course. Prentice-Hall, 1975.
• Willard Stephen: General Topology. Uusintapainos 2004, Dover Publications. Addison-Wesley, 1970.