Käänteislukufunktio

Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun ${\displaystyle a}$ ja murtoluvun ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:

${\displaystyle f(a)=1\div a={\frac {1}{a}}}$

ja

${\displaystyle f({\tfrac {m}{n}})={\frac {1}{\tfrac {m}{n}}}=1\div {\tfrac {m}{n}}=1\cdot {\tfrac {n}{m}}={\tfrac {n}{m}}}$

Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$, mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

Pääartikkeli: Käänteisluku#Reaaliluvut

Kompleksiluvun ${\displaystyle z=a+bi}$ käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen ${\displaystyle z_{1}}$ ja ${\displaystyle z_{2}}$ jakolaskun ominaisuuksia:

${\displaystyle {z_{1} \over z_{2}}={z_{1}{\bar {z_{2}}} \over \ z_{2}{\bar {z_{2}}}}={z_{1}{\bar {z_{2}}} \over |z_{2}|^{2}}}$

Kun ${\displaystyle z_{1}=1}$ ja ${\displaystyle z_{2}=z}$ saadaan

${\displaystyle f(z)={1 \over z}={1\cdot {\bar {z}} \over \ z\cdot {\bar {z}}}={{\bar {z}} \over |z|^{2}},}$

missä ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ on luvun ${\displaystyle z}$ liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:

${\displaystyle f(z)={1 \over z}={{\bar {z}} \over |z|^{2}}={{a-bi} \over {a^{2}+b^{2}}}={{a \over {a^{2}+b^{2}}}-{b \over {a^{2}+b^{2}}}i}.}$ [2]

Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. Funktiolla ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ei ole nollakohtia.

Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}=x^{-1},}$

joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut

${\displaystyle f(-a)=-f(a).}$

Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

Reaalifunktion derivaattafunktio on

${\displaystyle D{\frac {1}{x}}=Dx^{-1}=-1x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad x\neq 0}$

ja integraalifunktio

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln {|x|}+C,}$

kun ${\displaystyle x\neq 0}$ ja ${\displaystyle C\in \mathbb {R} .}$

Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0{\mbox{ ja }}\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty }$

ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$