Käänteishila

Tarkastellaan kaksiulotteista Bravais'n hilaa

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}}$, missä ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }$.

Mikä tahansa suure, esimerkiksi elektronien tiheys atomihilassa voidaan esittää jaksollisena funktiona, jolle pätee

${\displaystyle f\left(\mathbf {r} \right)=f\left(\mathbf {R} _{\mathbf {n} }+\mathbf {r} \right)}$

Jaksollisuutensa vuoksi ${\displaystyle f}$ voidaan esittää Fourier’n sarjana

${\displaystyle f\left(\mathbf {R} _{n}+\mathbf {r} \right)=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}}}$

Koska ${\displaystyle f(\mathbf {R} _{n}+\mathbf {r} )=f\left(\mathbf {R} _{k}+\mathbf {r} \right)}$ millä tahansa kokonaisluvuilla ${\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{2}}$, jälkimmäinen yhtälö pätee erikoistapauksessa ${\displaystyle \mathbf {R} _{0}=0}$

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}\left(e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }\right)\left(e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\right)}=\sum _{m}{f_{m}\left(e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }\right)\left(e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot 0}\right)}=\sum _{m}{f_{m}\left(e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }\right)\left(1\right)}}$

on oltava ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$, mikä merkitsee, että

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$, missä ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$.

Matemaattisesti käänteishila voidaan esittää niiden vektorien ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ joukkona, jotka toteuttavat tämän yhtälön kaikilla hilapisteitä vastaavilla paikkavektorin R arvoilla.

Tämä käänteishila itsekin on Bravais'n hila, ja käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila, mikä osoittaa vastaavien vektori­avaruuksien välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin.

Äärettömälle kaksi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeis­kopin särmiä vastaavat vektorit ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$, voidaan käänteishila määritellä muodostamalla sen kaksi kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

missä

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{2}}}\\\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {R} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Tässä ${\displaystyle \mathbf {R} }$ tarkoittaa 90 asteen rotaatiomatriisia.

Vastaavasti äärettömälle kolmi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeiskopin särmiä vastaavat alkeis­vektorit ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$, voidaan käänteis­hila määritellä muodostamalla sen kolme kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$

missä

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}\\\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)}}\\\mathbf {b} _{3}&=2\pi {\frac {\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}}\end{aligned}}}$[5]

Huomataan, että tässä nimittäjänä on näiden vektorien skalaarikolmitulo. Käyttämällä käänteisavaruuden alkeisvektoreille sarakevektoriesitystä voidaan nämä yhtälöt kirjoittaa myös muodostamalla käänteismatriisi, jolloin saadaan:

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Tämä menetelmä perustuu käänteishilan määritelmään ja voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa. Tätä kaavaa, jossa esiintyy vektorien ristitulo, käytetään yleisesti kristallografiassa.

Edellä olevaa käänteisavaruuden määritelmää sanotaan "fyysikon määritelmäksi"[6] ja siinä esiintyvä kerroin ${\displaystyle 2\pi }$ seuraa luonnollisesti jaksollisten funktioiden ominaisuuksista. Vaihto­ehtoinen "kristallo­grafin määritelmä", saadaan määrittelemällä käänteis­hilaksi ${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$

jolloin käänteishilavektoreiksi saadaan

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

ja samoin vastaavasti molemmille muille vektoreille.[6] Kristallo­grafin määritelmällä on se etu, että ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ on suoraan ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$:n käänteis­arvo ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$:n suunnassa, eikä tekijää ${\displaystyle 2\pi }$ ole mukana. Tämä yksin­kertaistaa eräitä lasku­toimituksia, ja sen avulla käänteis­hila saadaan avaruudellisen taajuuden yksiköissä. Voidaan pitää makuasiana, kumpaa käänteis­hilan määritelmää käytetään, kunhan vain niitä ei sekoiteta keskenään.

Jokainen käänteis­hilan piste ${\displaystyle (hkl)}$ vastaa jotakin suoran hilan hilatasojen ${\displaystyle (hkl)}$ joukkoa. Käänteis­hilan vektorin suunta on sama kuin tämän hilatason normaalin suunta. Käänteis­hilan vektorin suuruus taas on yhtä suuri kuin näiden suoran hilan hilatasojen välisen etäisyyden käänteis­arvo.

Jos suora hila määritellään avaruuden pistejoukoksi, jonka muodostavat hilapisteet, voidaan todeta, että kristallografin määritelmää käytettäessä käänteishilan muodostavat ne käänteisavaruuden pisteet, joiden paikkavektorin pistetulo minkä tahansa suoran hilan pisteen paikkavektorin kanssa on kokonaisluku.

Kiteen diffaktiokuvio käänteisavaruudessa

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä.[8] Sen ja siihen liittyvien Brillouinin vyöhykkeiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin keskeinen, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.[9]

Mielivaltaisellekin atomikokoelmalle voidaan määritellä käänteishila. Tähän voidaan päätyä muun muassa käsittelemällä hajaantuneita aaltoja, jotka syntyvt sellaisessa Fraunhoferin diffraktiossa, joka saadaan rajatapauksena suurilla etäisyyksillä summattaessa kaikista atomeista sironneet aallot Huygensin periaatteen mukaisesti.[11]. Alla olevassa yhtälössä tätä summaa merkitään kompleksiamplitudilla F, koska sekin on suorassa avaruudessa olevan efektiivisen sirontapotentiaalin Fourier’n muunnos:

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

Tässä g = q/(2π) on sirontavektori q kristallografin yksiköissä, N atomien lukumäärä, f_j[g] atomaarinen sirontatekijä j atomille, kun sirontavektori on 'g, kun taas r_j on atomin k paikkavektori. On huomattava, että Fourier’n muunnoksen vaihe riippuu koordinaatiston origon valinnasta.

Siinä erikoistapauksessa, että kyseessä on ääretön jaksollinen kide, M yksikkökopista sironnut amplitudi (kuten edellä) osoittautuu nollasta poikkeavaksi vain ${\displaystyle (hkl)}$:n kokonaislukuarvoilla, missä

${\displaystyle F_{hkl}=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{hkl}\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+lw_{j}\right)}}$

kun atomien lukumäärä j yksikkökopissa on välillä 1 <= j <= m ja yksikkökopin fraktionaaliset hilaindeksit ovat vastaavasti {u_j, v_j, w_j}. Todellisuudessa kide tietysti on äärellisen kokoinen, minkä vuoksi yhtälöön on tehtävä tämän seikan edellyttämät muutokset.

Olipa atomien muodostama ruudukko äärellinen tai ääretön, voidaan kuvitella myös "intensiteettikäänteishila" I[g], jonka yhdistää amplitudihilaan F tavanomainen relaatio I = F^*F, missä F^* on F:n kompleksikonjugaatti. Mielivaltaiselle atomikokoelmalle intensiteettikäänteishilaksi saadaan:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{jk}}.}$

Tässä r_jk on atomien j ja k paikkavektorien erotus. Tällä voidaan myös ennustaa, mitä seuraa nanokrystalliitin muodosta, äkillisestä säteen suunnan muutoksesta tai havaiituista diffraktiopiikeistä siinäkin tapauksessa, että rakennelma jossakin suunnassa olisi vain yhden atomin paksuinen. Toisaalta käänteishilaa käyttävät sirontalaskelmat yleensä koskevat hetkellistä tasoaaltoa. Niinpä vaikka käänteishilan avulla voidaankin tarkastella kinemaattisen sironnan vaikutuksia, on otettava huomioon myös säteen levenemisen ja useamman sironnan vaikutukset.

Abstraktin duaalihilan käsitteestä on matematiikassa kaksi versiota, jotka molemmat voidaan liittää äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa V olevaan hilaan L.

Ensimmäinen versio on suora yleistys käänteishilan konstruktiolle, ja siinä käytetään Fourier-analyysia. Se voidaan esittää yksinkertaisesti Pontrjaginin dualiteetin termein. Ryhmän V duaaliryhmä V^ on sekin vektoriavaruus, ja osoittautuu, että sen suljettu aliryhmä L^, joka on L:n duaali, on hila V^:ssä. Siksi L^ on luonnollinen ehdokas duaalihilaksi toisessa vektoriavaruudessa, jolla on sama ulottuvuus.

Toisen näkökulman antavat V:n neliömuodot Q. Jos V ei ole degeneroitunut, ne mahdollistavat V:n ja sen duaaliavaruuden V^* samastaminen. V^*:n ja V välinen yhteys ei ole yksiselitteinen, vaan riippuu V:n Haarin mitan eli tilavuusalkion valinnasta. Jos kuitenkin on tehty jokin samastus, joka on jotakin skalaaria vaille hyvin määritelty, Q:n mukanaolo tekee mahdollisesti puhua L:n duaalihilasta, vaikka pysytään avaruudessa V.

Matematiikassa annetun hilan L duaalihila lokaalisti kompaktissa topologisessa Abelin ryhmässä G on G:n duaaliryhmän aliryhmä L^∗, johon kuuluvat kaikki jatkuvat funktiot, jotka jokaisessa L:n pisteessä saavat arvon 1.

Diskreetissä matematiikassa hila määritellään valitsemalla n-ulotteisesta avaruudesta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ n lineaarisesti riippumatonta vektoria. Hila on tällöin lokaalisti diskreetti pistejoukko, jonka muodostavat kaikki näiden vektorien lineaarikombinaatiot. Tämän hilan duaalihila on tällöin niiden avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pisteiden joukko, joiden sisätulo jokaisen alkuperäisen hilan pisteen kanssa on kokonaisluku. Tästä seuraa, että duaalihilan duaalihila on sama kuin alkuperäinen hila.

Jos lisäksi matriisin B sarakkeet tarkoittavat hilan määritteleviä lineaarisesti riippumattomia vektoreita, matriisin

${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$ sarakkeina ovat ne vektorit, jotka määrittelevät sen duaalihilan.

Käänteisavaruus eli "k-avaruus" on avaruus, jossa avaruudellisten funktioiden Fourier-muunnokset esitetään, samaan tapaan kuin ajasta riippuvien funktioiden Fourier-muunnokset voidaan esittää taajuustasossa. Fourier-muunnos merkitsee siirtymistä "todellisesta avaruudesta" käänteisavaruuteen tai päinvastoin. Käänteisavaruudella on suuri merkitys aaltomekaniikassa. Tasoaalto voidaan nimittäin kirjoittaa värähtelyterminä ${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}}$, aaltovektorin ${\displaystyle k}$ ja kulmataajuuden ${\displaystyle \omega }$ avulla, joten se on sekä aaltovektorin (${\displaystyle k}$) että paikan (${\displaystyle x}$) funktio, kun taas sen "spektroskooppinen osuus" on vain kulmataajuuden (${\displaystyle \omega }$) ja ajan (${\displaystyle t}$) funktio. Tasoaallon avaruudellisen värähtelyn vaihe on muotoa ${\displaystyle kx=2\pi }$, ja niinpä aallon ollessa tietyssä vaiheessa avaruudellisen osan termit ${\displaystyle k}$ ja ${\displaystyle x}$ ovat kääntäen verrannollisia: ${\displaystyle k=2\pi /x}$ ja ${\displaystyle x=2\pi /k}$.

Käänteisavaruuden käsite soveltuu myös kuvan rekonstruktioon magneettikuvauksessa.

Käänteishila on käänteisavaruuden jaksollinen pistejoukko, eli hila, johon kuuluvat ne pisteet ${\displaystyle {\vec {k}}}$, jotka muodostavat jaksollisen avaruushilan Fourier’n muunnoksen. Brillouinin vyöhyke on tämän avaruuden alue, joka käsittää ne yksikäsitteiset k-vektorit, jotka esittävät jaksollisessa rakenteessa mahdollisia klassisia tai kvanttiaaltoja.

• Kristallografia
• Millerin indeksit