Juuri (laskutoimitus)

Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa

${\sqrt[{n}]{x}}$ ,[1]

missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava.

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi $\scriptstyle ^{4}{\sqrt {58}}$ on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio

Pääartikkeli: Juurifunktio

Nollan juuri on nolla kaikilla luvun n arvoilla.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu,[2] eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen.[3] Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli $\scriptstyle ^{4}{\sqrt {81}}~=~3~\lor ~-3.$

Perusominaisuudet

Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

{\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}},

[4]

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}~~~~(b\neq 0),

[4]

{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

$z^{n}=q$

on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:

S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
- S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
- Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora $\scriptstyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ \mathrm {Im} z=0,\mathrm {Re} z<0\}$

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa $\scriptstyle \mathbb {C} -S$ n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös

Lähteet

Soo Tan: Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)

Viitteet

Ron Larson: Elementary Algebra, s. 501. Cengage Learning, 2009. ISBN 9780547102276. (englanniksi)
Soo Tan, s. 38
Soo Tan, s. 37
Soo Tan, s. 40

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Ron Larson: Elementary Algebra, s. 501. Cengage Learning, 2009. ISBN 9780547102276. (englanniksi)

[2] Soo Tan, s. 38

[3] Soo Tan, s. 37

[tan40-4] Soo Tan, s. 40