Jälki

Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisin A jälki on määritelmän mukaan A:n päälävistäjän alkioiden summa, eli

\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\,=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}

,

missä a_ii tarkoittaa A:n alkiota rivillä i ja sarakkeessa i. [1] Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )\to \mathbb {C}$ .

Ominaisuuksia

Matriisin jälki on lineaarikuvaus, eli

\mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B)\,

\mathrm {tr} (rA)=r\;\mathrm {tr} (A)\,

kaikille neliömatriiseille A ja B, sekä kaikille skalaareille $r\in \mathbb {C}$ .

Koska päädiagonaali pysyy muuttumattomana transpoosissa, on neliömatriisilla ja sen transpoosilla sama jälki:

\mathrm {tr} (A)=\mathrm {tr} (A^{T})\,

.

Jos A on n×m-matriisi ja B on m×n-matriisi, on

\mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA)\,

,

vaikka matriisitulo ei olekaan kommutatiivinen. Edellisen nojalla jäljen sisällä olevien matriisien järjestystä voi kierrättää syklisesti

\mathrm {tr} (ABC)=\mathrm {tr} (CAB)=\mathrm {tr} (BCA)\,

.

Huomaa kuitenkin, ettei useamman matriisin järjestystä voi vaihtaa mielivaltaisesti. Tärkeä relaatio vallitsee myös matriisin ominaisarvojen ja jäljen välillä. Jos $\lambda _{i}$ ovat matriisin ominaisarvot, niin

\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\mathrm {tr} (A)

,

kun A on n×n-matriisi.

Lähteet

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 880 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[p1-1] Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 880 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.