Iwasawan teoria

Iwasawa tutki niin sanottuja ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-laajennuksia. Nämä ovat lukukuntien ${\displaystyle F}$ äärettömiä laajennuksia, joiden Galois'n ryhmä ${\displaystyle \Gamma }$ on isomorfinen p-aditisten lukujen additiivisen ryhmän kanssa jollakin alkuluvulla p. Jokainen ${\displaystyle \Gamma }$:n suljettu aliryhmä on muotoa ${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}}}$, joten Galois'n teorian mukaan ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-laajennus ${\displaystyle F_{\infty }/F}$ on sama asia kuin kuntalaajennusten muodostama torni ${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \ldots \subset F_{\infty }}$, missä ${\displaystyle {\textrm {Gal}}(F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. Iwasawa tutki klassisia Galois'n moduleja kuntien ${\displaystyle F_{n}}$ suhteen, missä hän tutki modulien rakennetta kunnan ${\displaystyle F_{\infty }}$ suhteen.

Yleisemmin Iwasawan teoria tutkii Galois'n modulien rakennetta yli sellaisten laajennusten suhteen, joiden Galois'n ryhmä on p-aditinen Lien ryhmä.

Olkoon p alkuluku ja olkoon K = Q(μ_p) kunta, jonka virittää Q:n suhteen p:s ykkösenjuuri. Iwasawa tutki seuraavaa lukukuntien laajennusten jonoa:

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

missä ${\displaystyle K_{n}}$ on kunta, joka on saatu liittämällä ${\displaystyle K}$:hon pⁿ⁺¹ ykkösen juurta ja ${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}}$. Siitä, että ${\displaystyle {\textrm {Gal}}(K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ seuraa, äärettömän Galois'n teorian avulla, että ${\displaystyle {\textrm {Gal}}(K_{\infty }/K)}$ on isomorfinen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$:n kanssa. Saadakseen mielenkiintoisen Galois'n modulin Iwasawa tutki ${\displaystyle K_{n}}$:n ideaaliluokkaryhmää, ja otti sen p-torsio-osan ${\displaystyle I_{n}}$. On olemassa mielenkiintoisia normikuvauksia ${\displaystyle I_{m}\rightarrow I_{n}}$ aina kun ${\displaystyle m>n}$, ja näistä saadaan tietoa ottamalla käänteinen systeemi. Jos asetetaan ${\displaystyle I=\varprojlim I_{n}}$, ei ole vaikeaa nähdä käänteisen raja-arvon konstruktion avulla, että ${\displaystyle I}$ on moduli ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$:n suhteen. Itse asiassa ${\displaystyle I}$ on moduli Iwasawan algebran ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$ suhteen. Tämä on 2-uloitteinen, säännöllinen lokaali rengas, joten voidaan kuvailla moduleja sen suhteen. Tästä kuvauksesta on mahdollista saada tietoa ${\displaystyle K}$:n luokkaryhmän p-osasta.

Tämän motivaatio on se, että p-torsio osa ${\displaystyle K}$:n ideaaliluokkaryhmästä on jo tunnistetu Kummerin tekemänä, ja tämä oli pääasiallinen este hänen keksimälleen yritykselle todistaa Fermat'n suuri lause.

1950-luvun alusta merkittävä teoria on kehitetty. Pääyhteys modulien teorian ja p-aditisten L-funktioiden välille kehitti 1960-luvulla Kubota ja Leopold. Leopold aloitti Bernoullin luvuista ja käytti interpolaatiota määritellessään p-aditiset analogiset käsitteet Dirichlet'n L-funktioille. Tuli selväksi, että teorialla oli edellytyksiä yleistää vuosisadan vanhoja tuloksia säännöllisistä alkuluvuista.

Iwasawa formuloi Iwasawan teorian pääotaksuman otaksumalla, että kaksi metodia jotka määrittelevät p-aditiset L-funktiot (moduliteoreettinen ja interpolaation avulla) vastaisivat toisiaan kunhan ovat hyvin määriteltyjä. Tämän todistivat Mazur ja Wiles[2] rationaaliluvuille vuonna 1984 ja Wiles todisti saman totaalisille reaalilukukunnille vuonna 1990.[3] Näitä todistuksiaan käytti hyväkseen Ken Ribet kun hän todisti käänteisen tuloksen Herbrandin lauselle, niin sanotun Herbrandin–Ribetin lauseen.

Karl Rubin löysi paljon alkeellisemman todistuksen Mazurin–Wilesin lauseelle käyttämällä hyväksi Kolyvaginin Eulerin systeemejä, jotka on selitetty Langin[4] ja Washingtonin[5] kirjoissa, ja joista on myöhemmin todistettu muita yleistyksiä pääotaksumasta imaginaarisille neliöllisille kunnille.

Äärettömän tornin Galois'n ryhmä, alkukuntaa ja aritmeettistä modulia voidaan vaihdella. Kussakin tapauksessa saadaan pääotaksuma, joka kytkee yhtee tornit ja p-aditiset L-funktiot.

Vuonna 2002 Chris Skinner ja Eric Urban väittivät löytäneensä pääotaksuma todistuksen takauksessa GL(2). Vuonna 2010 he julkaisivat artikkelin vertaisarvioitavaksi.[6]

de Shalit, Ehud: Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication. p-adic L functions, Perspectives in Mathematics, vol=3, Academic Press, 1987, isbn=0-12-210255-X, zbl=0674.12004