Itseisarvo

Itseisarvon kuvaaja origon läheisyydessä. Kuvaajasta ilmenee, ettei itseisarvo voi saada negatiivisia arvoja.

Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun ${\displaystyle a}$ itseisarvoa merkitään ${\displaystyle |a|}$. Itseisarvon muodollinen määritelmä on

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{jos }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{jos }}a<0\end{cases}}.}$

Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luvun vastaluku eli luku kerrottuna luvulla −1. Esimerkiksi luvun kolme itseisarvo merkitään ${\displaystyle |3|}$ ja se on 3. Miinus kahden itseisarvo puolestaan on kaksi, ${\displaystyle |-2|=2}$. Helpoiten negatiivisen lukuarvon itseisarvon saa lasketuksi poistamalla miinusmerkin.

Kompleksiluvun ${\displaystyle c=a+ib}$ itseisarvo on ${\displaystyle |c|=|a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$. Tämä on sama kuin kompleksilukua c kompleksitasolla vastaavan pisteen etäisyys origosta. Kompleksilukujen itseisarvoa kutsutaan myös moduuliksi.

Vektorin itseisarvosta käytetään tavallisesti nimitystä normi ja se vastaa vektorin euklidista pituutta. Tavallisen kolmiulotteisen vektorin v pituus on

${\displaystyle |\mathbf {v} |=|a\mathbf {i} +b\mathbf {j} +c\mathbf {k} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Kvaternion itseisarvo määritellään analogisesti vektorien kanssa

${\displaystyle |q|=|a+ib+jc+kd|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

Itseisarvolle voidaan todeta pätevän seuraavat laskusäännöt. Olkoon ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$. Tällöin pätee

${\displaystyle \ |-a|=|a|}$

${\displaystyle \ |ab|=|a||b|}$

${\displaystyle \ |a^{2}|=|a||a|=|a|^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle \ |a|-|b|\leq ||a|-|b||\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|}$ (kolmioepäyhtälö)

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}$

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.