Isoterminen ilmakehä

Isoterminen ilmakehä on fysikaalinen malli gravitaatiokentässä olevalle ilmakehälle, jossa vallitsee kauttaaltaan sama lämpötila. Malli olettaa, että ilmakehän luo pelkästään yksi ideaalikaasu.

Ilmakehätilavuuselementtiin vaikuttavat voimat. p = paine, A = elementin ala, dh = elementin korkeus, g = 9.81 ms^-2 ja ${\displaystyle \rho }$ = tiheys. Korkeus dh suuresti liioiteltu.

Isotermistä ilmakehää voidaan tarkastella tilastollismekaanisesti. Tilavuuselementin paino (kts. kuva) on tasapainossa paine-eron korkeuden dh yli kanssa. Elementin alapuoli on paineessa p ja yläpuoli paineessa p + dp. Newtonin ensimmäisestä laista saamme voimille:

${\displaystyle A\left(p+dp\right)+\rho Agdh=Ap}$

${\displaystyle A\left(p+{\frac {dp}{dh}}dh\right)+\rho Agdh=Ap}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-\rho g\qquad {\mbox{(1)}}}$

Emme voi ratkaista (1) sellaisenaan, koska ${\displaystyle \rho \equiv \rho \left(h\right)}$, eli tiheys on korkeuden funktio. Tarvitsemme siis tiheyden paineen p funktiona. Tätä varten käytämme ideaalikaasun tilanyhtälöä ${\displaystyle p=nkT\,\!}$, missä n = kaasuhiukkasten määrällinen tiheys, k = Boltzmannin vakio ja T = absoluuttinen lämpötila. Jos hiukkasten keskimassa on m, on ${\displaystyle \rho =mn\,\!}$, josta

${\displaystyle dp=-\rho gdh=-nmgdh=-{\frac {mgp}{kT}}dh}$

Integroidaan 0:sta h:hon

${\displaystyle \int _{p\left(0\right)}^{p\left(h\right)}{\frac {dp}{p}}=-\int _{0}^{h}{\frac {mg}{kT}}dh}$

josta

${\displaystyle p\left(h\right)=p_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}}\qquad {\mbox{(2)}}}$

${\displaystyle n\left(h\right)=n_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}}\qquad {\mbox{(3)}}}$

Kaavoista (2) ja (3) havaitaan, että isotermiselle ilmakehälle p ja ${\displaystyle \rho }$ heikkenevät eksponentiaalisesti korkeuden funktiona. Niissä esiintyy myös Boltzmannin tekijä, jossa energia ${\displaystyle E=mgh\,\!}$, mikä on odotettavaa, koska mgh on kaasuhiukkasten potentiaalienergia (kun h on pieni).

Tämä malli toimii erittäin hyvin maan ilmakehälle.

Mallilla on useita seurauksia:

• 8 000 metrissä (kuten Himalajalla korkeimmat vuoret), tiheys on n. 40 % merenpinnan arvosta
• painemittaria voi käyttää korkeuden määrittämiseen
• korkeuden funktiona pienenevä ilmantiheys määrittää rajakorkeuden, jolla helikopteria voi lentää
• vesi kiehuu alemmassa lämpötilassa korkealla