Isogonaalinen konjugaatti

Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit

${\displaystyle P=x:y:z}$,

ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit

${\displaystyle P^{-1}=x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}}$.[6]

Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin.[7] Toisaalta myös

${\displaystyle (P^{-1})^{-1}=(x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1}=x:y:z=P}$,

jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden ${\displaystyle \scriptstyle P}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle P^{-1}}$ olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.

Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

${\displaystyle P=x:y:z}$

ja isogonaaliset koordinaatit ovat

${\displaystyle P^{-1}=a^{2}yz:b^{2}xz:c^{2}xy}$,

missä ${\displaystyle a,\,b\,ja\,c}$ ovat kolmion sivujen pituuksia.[8]

Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta ${\displaystyle \scriptstyle \triangle AC\,'C}$ kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

${\displaystyle {\frac {AC'}{\sin \measuredangle ACC'}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC'A}}\Leftrightarrow AC'={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}}$

ja kolmiosta ${\displaystyle \scriptstyle \triangle C\,'BC}$ ensimmäisen osamäärän nimittäjä

${\displaystyle {\frac {C'B}{\sin \measuredangle C'CB}}={\frac {BC}{\sin \measuredangle BC'C}}\Leftrightarrow C'B={\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}.}$

Koska kulmat ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle CC'A}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BC'C}$ ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli ${\displaystyle \scriptstyle \sin \measuredangle CC'A=\sin \measuredangle BC'C}$, saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä

${\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{BC\sin \measuredangle C'CB}}.}$

Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää

${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA'}{CA\sin \measuredangle A'AC}}}$

ja

${\displaystyle {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB'}{AB\sin \measuredangle B'BA}}}$

ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan

${\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1\Leftrightarrow {\frac {{\cancel {CA}}\sin \measuredangle ACC'}{{\cancel {BC}}\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {{\cancel {AB}}\sin \measuredangle BAA'}{{\cancel {CA}}\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {{\cancel {BC}}\sin \measuredangle CBB'}{{\cancel {AB}}\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow }$

eli

${\displaystyle {\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1.}$

Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä ${\displaystyle \scriptstyle P^{-1}}$, tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua

${\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.}$

Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa

${\displaystyle {\frac {AC''}{\sin \measuredangle ACC''}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC''A}}\Leftrightarrow AC''={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}}$

ja

${\displaystyle C''B={\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}.}$

Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

${\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\cancel {\sin \measuredangle CC''A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC''C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}.}$

Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle ACC'=\measuredangle C''CB}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle C'CB=\measuredangle ACC'',}$ jolloin

${\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}}.}$

Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat (${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BAA'=\measuredangle A''AC}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle A'AC=\measuredangle BAA''}$ sekä ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle CBB'=\measuredangle B''BA}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle \measuredangle B'BA=\measuredangle CBB''}$ ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

${\displaystyle {\frac {BA''}{A''C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA''}{AC\sin \measuredangle A''AC}}\Leftrightarrow {\frac {BA''\cdot CA}{A''C\cdot AB}}={\frac {\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}}.}$

ja

${\displaystyle {\frac {CB''}{B''A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB''}{AB\sin \measuredangle B''BA}}\Leftrightarrow {\frac {CB''\cdot AB}{B''A\cdot BC}}={\frac {\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}}.}$

${\displaystyle {\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B\cdot CA}{AC''\cdot BC}}\cdot {\frac {A''C\cdot AB}{BA''\cdot CA}}\cdot {\frac {B''A\cdot BC}{CB''\cdot AB}}=1\Leftrightarrow }$

${\displaystyle {\frac {C''B\cdot {\cancel {CA}}}{AC''\cdot {\cancel {BC}}}}\cdot {\frac {A''C\cdot {\cancel {AB}}}{BA''\cdot {\cancel {CA}}}}\cdot {\frac {B''A\cdot {\cancel {BC}}}{CB''\cdot {\cancel {AB}}}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B}{AC''}}\cdot {\frac {A''C}{BA''}}\cdot {\frac {B''A}{CB''}}=1}$

Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

${\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.}$