Infinitesimaali

Ensimmäisenä infinitesimaalin käsitettä käytti Arkhimedes noin 250 eaa.[3] Monien hänen käyttämiensä menetelmien voidaan jo katsoa ennakoineen integraalilaskentaa.[4] Myös Intiassa useat matemaatikot kuten Bhāskara II käyttivät vastaavanlaisia menetelmiä jo 1100-luvulta lähtien.[5]

Kun Leibniz ja Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan, heidän käyttämänsä päätelmät perustuivat oleellisesti infinitesimaaleihin.[6] Tyypillinen todistus saattoi kuulua seuraavasti:

On määriteltävä funktion f(x) = x² derivaatta f′(x). Olkoon dx infinitesimaali. Sen aikaisen määritelmän mukaan derivaatta oli:

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle ={\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\,}$.

Näin ollen funktion f(x) = x² derivaatta oli

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle ={\frac {x^{2}+2x\cdot \mathrm {d} x+(\mathrm {d} x)^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}\,}$
	${\displaystyle =2x+\mathrm {d} x\,}$
	${\displaystyle =2x\,}$

koska dx on infinitesimaalisen pieni.

Vaikka tämä todistelu oli intuitiivisesti uskottava ja johti oikeaan tulokseen, se ei ollut loogisesti aukoton. Varsinkin filosofit kuten George Berkeley esittivät siihen painavia vastaväitteitä[7][8] Varsinainen ongelma on siinä, että infinitesimaalia dx käsitellään ensin nollasta poikkeavana, niin että se voi olla jakajanakin, mutta sen jälkeen se kuitenkin poistetaan laskuista ikään kuin se olisi nolla.

Infinitesimaali määriteltiin intuitiivisesti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka itseisarvo on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos h on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin käänteisluvun tulisi olla ääretön.

Useimmat aikakauden matemaatikot ja varsinkin fyysikot jättivät nämä vastaväitteet kuitenkin vähälle huomiolle. Näistä loogisista heikkouksista huolimatta infinitesimaalin käsitteeseen perustunutta analyysiä voitiin kuitenkin erittäin menestyksellisesti soveltaa monilla aloilla, erityisesti fysiikassa ja taivaanmekaniikassa.[2]

Vasta 1800-luvulla Karl Weierstrass määritteli differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet uudelleen niin, ettei infinitesimaaleja tarvittu. Täten ne saatiin vihdoin loogisesti pätevälle pohjalle.[6] Keskeisin käsite, jota tällöin tarvittiin, oli raja-arvo. Määritelmän mukaan reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla ${\displaystyle f}$ on raja-arvo ${\displaystyle L}$ pisteessä ${\displaystyle c}$, jos jokaista positiivista lukua ${\displaystyle \epsilon >0}$ kohti, olipa se kuinka pieni tahansa, on olemassa positiivinen luku ${\displaystyle \delta >0}$ siten, että[9]

${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$, aina kun ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$

Tälle raja-arvolle käytetään merkintää

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ (luetaan ${\displaystyle f(x)}$:n raja-arvo, kun ${\displaystyle x}$ lähestyy ${\displaystyle c}$:tä, on ${\displaystyle L}$)

Tämän avulla funktion f(x) = x² derivaatta f′(x) määriteltiin aikaisemmasta poiketen seuraavasti:[10]

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Myös tämän määritelmän avulla voidaan osoittaa, että esimerkiksi funktion x² derivaatta on f′(x) = 2 x.

Kun Weierstrassin määritelmät tulivat tunnetuiksi, infinitesimaalin käsitettä pidettiin matematiikassa pitkät ajat täysin tarpeettomana ja vanhentuneena.[6][11] Vuonna 1960 Abraham Robinson kuitenkin osoitti, että on määriteltävissä reaalilukujen joukkoa laajempikin lukualue, hyper­reaali­luvut, jossa on myös infinitesimaalisia lukuja.[12] Tässä lukualueessa määritellään, että luku x on infinitesimaalinen, jos se on pienempi kuin minkä tahansa positiivisen kokonaisluvun käänteisluku, mistä kuitenkaan ei seuraa, että se on tasan 0.[12] Tähän lukualueeseen perustuu hänen kehittämänsä epästandardi analyysi[12] jonka avulla derivaatalle ja monille muille käsitteille voidaan esittää vaihtoehtoiset ja täysin täsmälliset määritelmät.