Infimum

Alarajan määritelmä. Olkoon ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} }$.

Reaaliluku e on joukon S alaraja , jos ja vain jos kaikille ${\displaystyle x\in S}$ pätee x ≥ e.

Joukko S on alhaalta rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen alaraja.

Infimumin määritelmä. Olkoon edelleen ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} }$.

Luku e ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ on joukon S infimum eli suurin alaraja, jos ja vain jos se on suurin joukon S alarajoista eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon S alaraja.

Tällöin merkitään e = inf(S). Siis joukolla S on infimum ja kyseinen infimum on e.

e = inf(S) ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$

1) e ≤ x kaikilla x ${\displaystyle \in }$ S eli e on joukon S alaraja.

2) e ≥ m kaikilla joukon S alarajoilla m.

Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku e on joukon S infimum jos ja vain jos e on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja e on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S alarajoja.

Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa infimum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi infimum. Todistus. Olkoon inf(S) = e ja inf(S) = e2. Siis e2 on joukon S eräs alaraja. Tällöin infimumin määritelmän nojalla e ≥ e2. Samoin saadaan e2 ≥ e. Siis e = e2.

Jos inf(S) on olemassa niin joukko S on alhaalta rajoitettu. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.

Joukon pienimmän alkion eli minimin on kuuluttava joukkoon kun taas infimumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos infimum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.

Jos ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} }$ ja minS on olemassa niin minS = inf(S).

Todistus. Olkoon olemassa minS = e.

1)e on joukon S alaraja eli kaikilla x ${\displaystyle \in }$ S pätee x ≥ e.

2)Koska e ${\displaystyle \in }$ S niin e ≥ inf(S). Toisaalta 1):n nojalla e on joukon S alaraja. Siis e ≤ inf(S). Siis e = inf(S).

Yksinkertaisessakin tapauksessa infimumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla infimumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.

Lause 1. Olkoon e = inf(S) ja ${\displaystyle \varepsilon }$ > 0. Tällöin on olemassa x ${\displaystyle \in }$ S, jolle x < e + ${\displaystyle \varepsilon }$

Lause 2. Olkoon S ${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$ ja e ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$. Tällöin e = inf(S) jos ja vain jos

1) e on joukon S alaraja. Siis x ≥ e kaikilla x ${\displaystyle \in }$ S.

2) Kaikille ${\displaystyle \varepsilon }$ > 0 ${\displaystyle \exists }$ x ${\displaystyle \in }$ S, jolle x < e + ${\displaystyle \varepsilon }$

Infimum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:

a) Jos joukossa S näyttäisi olevan pienin alkio e, osoitetaan kohdat:

1) e ${\displaystyle \in }$ S.

2) x ≥ e kaikille x ${\displaystyle \in }$ S.

Tällöin minS = inf(S).

b) Jos joukko S on alhaalta rajoitettu, mutta joukossa ei ole pienintä alkiota, osoitetaan kohdat:

1) x ≥ e kaikille x ${\displaystyle \in }$ S, jolloin e on S:n eräs alaraja.

2) e + ${\displaystyle \varepsilon }$ ei ole S:n alaraja. Siis e on alarajoista suurin.

Tällöin e = inf(S).

c) Osoitetaan, että joukko ei ole alhaalta rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen pieniä lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa pienempiä lukuja.

• ${\displaystyle \inf([0,1])=0,min([0,1])=0}$
• ${\displaystyle \inf(]0,1[)=0,\not \exists min(]0,1[)}$
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1\,}$
• ${\displaystyle \inf\{2-1/n|n\in \mathbb {N} \}=1,min\{2-1/n|n\in \mathbb {N} \}=1}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=0\,}$

• Luonnollisten lukujen joukolla ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ei ole ylärajaa, sillä joukolla ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ei ole suurinta alkiota eikä joukko ${\displaystyle \mathbb {N} }$ siis ole ylhäältä rajoitettu. Joukolla ${\displaystyle \mathbb {N} }$ on kuitenkin alaraja: nolla. Siis ${\displaystyle \mathbb {N} }$ on alhaalta rajoitettu ja luonnollisten lukujen joukolla ${\displaystyle \mathbb {N} }$ on siis infimum. Merkitään inf(${\displaystyle \mathbb {N} }$) = 0.

• Limes inferior Jonon äärettömän kaukana olevien alkioiden infimum
• Oleellinen infimum Joukon suppeimman positiivismittaisen osajoukon infimum
• Supremum Joukon pienin yläraja

• MathWorld. Infimum

• Apostol, Tom. M.: Mathematical analysis. Addison-Wesley publishing company. 3. edition. London, England, 1960, 7–8.
• Hurri-Syrjänen, Ritva. Differentiaali- ja integraalilaskenta, Luentomonisteet. Helsingin yliopisto, Syksy 1999, 11–14.
• Huuskonen, Taneli. Analyysin peruskurssi: Supremum ja infimum. Luentomoniste-pdf. Helsingin yliopisto. Helsinki, 2006.^{[vanhentunut linkki]}
• Myrberg, Lauri. Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1. 3 painos. Yhteiskirjapaino Oy, Helsinki, 1981, 17–20, 24–26.
• http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/anper1.pdf/%5Bvanhentunut+linkki%5D
• https://matta.hut.fi/matta2/mtreeni1/ag/ag002.pdf