Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle

${\displaystyle A^{2}=A\,}$.

Esimerkiksi voidaan laskea, että

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin

• ${\displaystyle I-A\,}$ on idempotentti

• ${\displaystyle \mathrm {Im} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,}$

• ${\displaystyle \mathrm {Ker} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,}$

• ${\displaystyle K^{n}=\mathrm {Im} (A)\oplus \mathrm {Ker} (A)}$

• ${\displaystyle A\,}$on diagonalisoituva

• ${\displaystyle A\,}$:n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin ${\displaystyle A\,}$:n aste.

Tässä merkintä ${\displaystyle K^{n}}$ tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta, ${\displaystyle \mathrm {Ker} (A)}$ on A:n ydin ja ${\displaystyle \mathrm {Im} (A)}$ on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos ${\displaystyle (x,y,z)^{T}\,}$ on jokin ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n vektori

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}}$,

eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n suoran ${\displaystyle (x,y)}$-tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.