Suorakulmainen kolmio

Pääartikkeli: Pythagoraan lause

Pythagoraan lauseen havainnollistus. Pythagoraan yhtälössä lauseke a² esitetään sinisen neliön alana, b² punaisen ja c² violetin neliön alana.

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (suoran kulman vastaisen sivun) neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen eli kateettien neliöiden summa. Jos hypotenuusan pituus on c ja kateettien a ja b, tämä voidaan ilmaista yhtälöllä

Jäsentäminen epäonnistui (MathML, sekä SVG tai PNG varalla (suositeltu nykyaikaisille selaimille ja helppokäyttötyökaluille): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle a^2 + b^2=c^2. \,} [1][4][5]

Tämä pätee myös kääntäen: jos kolmion sivut toteuttavat tämän yhtälön, sivujen a ja b välinen kulma on suora. Yhtälö osoittaa myös, että hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat toistensa komplementtikulmia, koska ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\Leftrightarrow \alpha +\beta =90^{\circ }.}$

Kateettien a ja b projektiot hypotenuusalla c ovat vastaavasti n ja m.

Piirtämällä suorakulmaisen kolmion ABC perusteella apupiirroksina kaksi suorakulmiota voidaan todeta, että suorakulmioiden alat ovat yhtä suuret eli ab = hc.

Geometrisen keskiarvon lauseen mukaan hypotenuusaa vastaan oleva korkeus on kateettien a ja b projektioiden n ja m keskiverto eli

${\displaystyle {\frac {h}{m}}={\frac {n}{h}}\Leftrightarrow h={\sqrt {mn}}.}$ [6]

Kateetti a on hypotenuusan ja hypotenuusalla olevan projektionsa n keskiverto eli ${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{n}}\Leftrightarrow a={\sqrt {nc}}}$ [7] eli

${\displaystyle n={\frac {a^{2}}{c}}.}$

Korkeusjanojen pituudet ovat kateetille a ${\displaystyle h_{a}=b}$ ja hypotenuusalle ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}},}$ [8] mikä johtaa myös muotoon ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$

Keskijanojen pituudet ovat kateetille a

${\displaystyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}+a^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3b^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-3a^{2}}}}$ [8]

ja hypotenuusalle c

${\displaystyle m_{c}={\tfrac {1}{2}}c}$ [8]

Kulmanpuolittajat ovat kateetille a

${\displaystyle w_{a}={\frac {\sqrt {2bc(b^{2}+bc)}}{b+c}}}$

ja hypotenuusalle c

${\displaystyle w_{c}={\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}.}$ [8]

Yleisesti kolmion pinta-ala lasketaan kannan a ja korkeuden h avulla

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ah.}$ [9]

Suorakulmaisessa kolmiossa kummatkin kateetit a ja b kohtaavat toisensa kohtisuorasti ja toimivat korkeusjanana, jolloin pinta-alan suuruus voidaan ilmoittaa sivujen avulla

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab.}$ [1]

Kun merkitään piirin pituuden puolikasta ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$, tulee suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi

${\displaystyle A=(s-a)(s-b).}$

Suorakulmaisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}={\frac {ab}{a+b+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}.}$ [10][1]

Säteen lauseke voidaan kirjoittaa myös

${\displaystyle r={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(c-a)(c-b)}}={\tfrac {1}{2}}(a+b-c).}$ [1]

Thaleen lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion ympäri piirretty ympyrän keskipiste on hypotenuusalla, joka on samalla ympyrän halkaisija.

Thaleen lause sanoo, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Sen seurauksena kolmio, jonka yksi sivu on ympyrän halkaisijalla ja sen vastainen kärki ympyrän kehällä, on suorakulmainen kolmio. Tämän ympyrän säde on

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\tfrac {1}{2}}c.}$ [1]

Ympyrän keskipiste sijaitsee siis hypotenuusan keskipisteessä.[11] Jos kolmio tämän lisäksi tasakylkinen, tulee säteeksi

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {2}}.}$ [12]