Hyperbelirata

Hyperbeliradan isoakselin puolikas (${\displaystyle a\,\!}$) on hyperbelin asymptoottien leikkauspisteen ja sitä lähimpänä olevan hyperbeliradan pisteen eli periapsiksen välinen etäisyys. Yleensä se määritellään negatiiviseksi, jotta ellipsiradoille johdetut yhtälöt soveltuisivat myös hyperbeliradoille.

Isoakselin puolikas liittyy suoraan ominaisrataenergiaan (${\displaystyle \epsilon \,}$) tai radan karakteristiseen energiaan ${\displaystyle C_{3}}$ sekä myös rajanopeuteen (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$), jota kappaleen nopeus lähestyy sen etääntyessä äärettömän kauas keskuskappaleesta:

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ tai ${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

missä: ${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$ on standardi gravitaatioparametri (gravitaatiovakion ja kappaleen massan tulo) ja ${\displaystyle C_{3}}$ karakteristinen energia, jota yleisesti käytetään suunniteltaessa planeettojen välisiä lentoja.

Hyperbeliradan tapauksessa kokonaisenergia on positiivinen, kun taas ellipsiradan tapauksessa se on negatiivinen.

Hyperberliradan eksentrisyys (${\displaystyle e\,}$) on suurempi kuin 1. Eksentrisyys liittyy suoraan käyrän asymptoottien väliseen kulmaan. Jos eksentrisyys on vain vähän suurempi kuin 1, hyperbeli on terävä V-kirjaimen muotoinen. Jos ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$, asymptootit ovat toisiinsa nähden kohtisuorassa. Kun ${\displaystyle e>2}$, asymptoottien välinen kulma on suurempi kuin 120°, ja periapsiksen etäisyys niiden leikkauspisteestä on suurempi kuin isoakselin puolikas. Kun eksentrisyys kasvaa rajatta, hyperbeli lähestyy muodoltaan suoraa viivaa.

Keskuskappaleen ja periapsiksen kautta kulkeva suoran ja hyperberlin asymptootin välinen kulma on kappaleen luonnollinen anomalia, kun etäisyys kasvaa rajatta (${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$), ja näin ollen ${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$ on kappaleen tulo- ja poistumissuuntien ja samalla radan asymptoottien välinen kulma. Tämän osoittaa yhtälö

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$ or ${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Kappaleiden hyperbeliratoja niiden lähestyessä keskuskappaletta (pieni täplä) samalla nopeudella ja samasta suunnasta mutta eri suurilla impaktiparametreilla ja eksentrisyyksillä. Keltainen viiva kulkee läheltä keskuskappaleen ohi.

Impaktiparametri on häiriintymättömästi hyperbeliradalla liikkuvan kappaleen lyhyin etäisyys keskuskappaleesta. Se on sama kuin ratahyperberlin pikkuakselin puolikas.

Avaruusluotaimen tai komeetan lähestyessä planeettaa impaktiparametri ja lähestymisnopeus voidaan tuntea tarkoin. Jos keskuskappale on tunnettu, ohittavan kappaleen rata voidaan laskea, kuten myös kappaleen etäisyys sen ollessa periapsiksessa. Jos tämä on pienempi kuin planeetan säde, kappaleen voidaan olettaa törmäävän planeettaan. Tämä lyhyin etäisyys eli periapsiksen etäisyys voidaan laskea seuraavasti:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}$

Esimerkiksi Maan säde on noin 6 400 kilometriä. Niinpä kun komeetta lähestyy Maata nopeudella 12,5 kilometriä sekunnissa, mikä on likimäärin pienin nopeus, jolla aurinkokunnan ulkopuolelta tuleva kappale voi saada, se kulkee Maan ohi törmäämättä, mikäli sen impaktiparametri on suurempi kuin 8 600 kilometriä, eli noin 34 % suurempi kuin Maan säde. Jupiterin säde on noin 70 000 kilometriä, joten sitä lähestyvä kappale, jonka nopeus on 5,5 km/s, kulkee Jupiterin ohi törmäämättä vain, jos sen impaktiparametri on vähintään 700 000 kilometriä eli noin 11 kertaa Jupiterin säde.

Jos keskuskappaleen massaa ei tunneta, sen gravitaatioparametri ja samalla massakin voidaan määrittää sen perusteella, minkä verran sitä lähestyvä pienempi kappale poikkeaa suunnastaan, sekä impaktiparametrin ja lähestymisnopeuden avulla. Koska kaikki nämä tekijät voidaan määrittää tarkasti, avaruusluotaimen ohikulun avulla voidaan hyvin arvioida kappaleiden massoja:

Kulma, jonka verran pienemmän kappaleen liikesuunta lopulta poikkeaa tulosuunnasta, on

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$, missä ${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

Hyperbeliradalla luonnollisen anomalian ${\displaystyle \theta }$ ja kappaleiden välisen etäisyyden (${\displaystyle r\,}$) sitoo toisiinsa ratayhtälö:

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Luonnollisen anomalian ${\displaystyle \theta }$ ja eksentrisen anomalian E välillä on yhteys:

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     or     ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$

Eksentrisen anomalian E liittää keskianomaliaan M Keplerin yhtälö:

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

Keskianomalia on verrannollinen aikaan

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$ missä μ on gravitaatioparametri ja a radan isoakselin puolikas.

Lentoratakulma (φ) on kappaleen liikesuunnan ja säteittäisen suunnan normaalin välinen kulma, joka on nolla periapsiksessa ja lähestyy äärettömän kaukana 90 astetta:

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Standardeilla oletuksilla hyperbelirataa pitkin kulkevan kappaleen ratanopeus (${\displaystyle v\,}$) voidaan laskea vis viva -yhtälöllä:

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

missä:

• ${\displaystyle \mu \,}$ on standardi gravitaatioparametri,
• ${\displaystyle r\,}$ on liikkuvan kappaleen etäisyys keskuskappaleesta, ja
• ${\displaystyle a\,\!}$ on isoakselin puolikas negatiivisena.

Samoilla oletuksilla radan jokaisessa pisteessä kappaleen ratanopeuden (${\displaystyle v\,}$), paikallisen pakonopeuden (${\displaystyle {v_{esc}}\,}$) ja hyperbolisen loppunopeuden (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$) välillä on yhteys:

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Tästä seuraa, että vaikka kappaleen nopeus olisi vain vähän pakonopeutta suurempi, tämä erotus (${\displaystyle \Delta v}$) voi silti saada aikaan, että kappaleen lopullinen etääntymisnopeus on hyvinkin suuri.[2] Esimerkiksi paikassa, jossa pakonopeus on 11,2 km/s, nopeudella 11,6 km/s (${\displaystyle \Delta v}$ = 0,4 km/s) liikkuva kappale saa jo loppunopeuden 3,02 km/s.

${\displaystyle {\sqrt {11{,}6^{2}-11{,}2^{2}}}=3{,}02}$

Tämä on esimerkki Oberthin ilmiöstä. Tämä pätee myös kääntäen: hyperbolisella radalla olevan kappaleen nopeutta ei tarvitse hidastaa suhteellisesti kovin paljon, jotta sen nopeus pienenisi pakonopeutta pienemmäksi ja kappale jäisi kiertoradalle. Maan ilmakehässä tämän voi saada aikaan jo ilmanvastus.