Horisontti

Geometrinen perusta näköetäisyyden laskemiselle sekanttilauseen avulla

Geometrinen näköetäisyys Pythagoraan lauseen mukaan

Kolme horisontin määritelmää: todellinen (True horizon), tähtitieteellinen (Astronomical horizon) ja näkyvä (Visual horizon)

Jos oletetaan Maan olevan täydellinen pallo, jonka ilmakehä ei vaikuta havaintoon, horisontin etäisyys eli suurin näköetäisyys voidaan helposti laskea euklidisen geometrian avulla.

Olkoon O ympyrän ulkopuolella oleva piste. Piirretään tämän pisteen kautta kulkeva ympyrän tangentti, joka sivuaa ympyrää pisteessä C, sekä pisteen O ja ympyrän keskipisteen kautta kulkeva sekantti, joka leikkaa ympyrän pisteissä A ja B. Tällöin on sekanttilauseen mukaan

${\displaystyle \mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.}$.

Jos ympyrä esittää maapalloa ja piste O havaitsijan silmää ja käytetään etäisyyksille seuraavia merkintöjä:

• d = OC = horisontin etäisyys
• D = AB = Maan halkaisija
• h = OB = havaitsijan korkeus merenpinnasta mitattuna
• D+h = OA = Maan halkaisijan ja havaitsijan korkeuden summa,

kaava saadaan muotoon

${\displaystyle d^{2}=h(D+h)\,\!}$

tai

${\displaystyle d={\sqrt {h(D+h)}}={\sqrt {h(2R+h)}}\,,}$

missä R on Maan säde.

Vaihtoehtoisesti yhtälö voidaan johtaa Pythagoraan lauseen avulla. Koska näköviiva on Maan pinnan tangentti, se on horisontissa kohtisuorassa Maan sädettä vastaan. Täten muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on Maan säteen ja havaitsijan korkeuden summa. Jos käytetään merkintöjä

• d = etäisyys horisonttiin
• h = havaitsijan korkeus meren pinnan tasosta mitattuna
• R = Maan säde,

saadaan :

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.}$

Mikäli etäisyys horisonttiin (s) mitataan Maan kaarevaa pintaa pitkin ja kulma γ ilmoitetaan radiaaneina, saadaan

${\displaystyle s=R\gamma \,;}$

joten

${\displaystyle \cos \gamma =\cos {\frac {s}{R}}={\frac {R}{R+h}}\,.}$

Tästä s saadaan ratkaistuksi:

${\displaystyle s=R\arccos {\frac {R}{R+h}}\,.}$

Tämä etäisyys s voidaan ilmoittaa myös näköviivan d pituuden avulla; oikealla olevasta kuvasta,

${\displaystyle \tan \gamma ={\frac {d}{R}}\,;}$

Jos tässä γ korvataan etäisyydellä s ja ratkaistaan yhtälö s:n suhteen, saadaan edelleen

${\displaystyle s=R\tan ^{-1}{\frac {d}{R}}\,.}$

Jos havaitsijan korkeus h on paljon pienempi kuin Maan säde R, ovat suora etäisyys havaitsijan silmästä horisonttiin (d) ja etäisyys Maan pintaa pitkin (s) käytännöllisesti katsoen yhtä suuret.

Jos havaitsija on lähellä Maan pintaa, lausekkeessa (2R + h) voidaan h pyöristää nollaksi, jolloin saadaan:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh}}\,.}$

Koska Maan säde on noin 6371 kilometriä, on tässä esiintyvä vakio ${\displaystyle {\sqrt {2R}}}$ noin 3570 ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$, ja lukuarvoyhtälönä kaava voidaan esittää muodossa

${\displaystyle d\approx 3,57{\sqrt {h}}\,,}$

missä etäisyys d on kilometreinä ja havaitsijan silmän korkeus h metreinä.

Tämä kaava pätee, kun havaitsijan silmän korkeus on paljon pienempi kuin Maan säde, käytännössä aina silloinkin, kun havaitsija on vuoren huipulla, lentokoneessa tai kuumailmapallossa.

Jos havaitsija on hyvin korkealla, käytännössä Maata kiertävässä avaruusaluksessa, n silmä on hyvin korkealla, edellä olevat likimääräiskaavat eivät enää päde, vaan näköetäisyys d on

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,}$

missä R on Maan säde ja h havaitsijan korkeus maan pinnasta. Molemmat on tällöin ilmoitettava samoina yksikköinä. Esimerkiksi jos avaruusalus on 2000 kilometrin korkeudella, sieltä näkee Maan päälle 5430 kilometrin päähän. Jos tässä laskussa termi h² jätettäisiin huomiotta, tulokseksi saataisiin 5048 kilometriä, missä on 7 prosentin virhe.

Geometrinen horisontin etäisyys

Edellä olevat kaavat osoittavat, kuinka kaukana oleva kohta Maan pinnasta on tietyltä korkeudelta nähtävissä. Kuinka kauas jokin Maan pinnasta kohoava kohde näkyy, voidaan laskea laskemalla toisaalta tämän kohteen huipulla mahdollisesti olevan havaitsijan horisontin etäisyys sekä sitä etäältä katsovan havaitsijan horisontin etäisyys ja laskemalla nämä etäisyydet yhteen. Esimerkiksi jos havaitsijan silmät ovat 1,7 metriä maanpinnan ympärillä, hänen horisonttinsa on 4,65 kilometrin päässä. Toisaalta sadan metrin korkuisen tornin huipulta katsottuna horisontti olisi 35,7 kilometrin päässä. Näin ollen tasaisella maalla seisova havaitsija voi nähdä tämän tornin, jos hänen etäisyytensä siitä on enintään 40,35 kilometriä. Vastaavasti veneessä oleva havaitsija, jonka silmät ovat samalla korkeudella, voi nähdä 10 metrin korkuiset puut, jos ne ovat enintään 16 kilometrin päässä.

Oikealla oleva kaavio esittää laivaa ja majakkaa. Majakka näkyy laivasta käsin, jos

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3,57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

missä etäisyys majakkaan (D_BL9 on laskettu kilometreinä, laivalla olevan havaitsijan silmien korkeus (h_B) ja majakan korkeus (h_L) metreinä. Jos valon taittuminen ilmakehässä otetaan huomioon, majakka näkyy, jos

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3,86\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,.}$

Koska ilmakehä taittaa valoa, tasaisella maalla tai merellä voidaan usein nähdä hieman kauemmaksikin kuin edellä olevat geometriset kaavat osoittavat. Normaaleissa olosuhteissa selkeällä säällä tämä ero on noin 8 %; siihen kuitenkin vaikuttavat suuresti lämpötilan vaihtelut, varsinkin merellä, minkä vuoksi näköetäisyys voidaan laskea vain likimääräisesti.[4]

John Sweer on esittänyt horisontin etäisyydelle d lausekkeen[5]

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

missä R_E on Maan säde, ψ horisontin kallistuma ja δ valon taittuminen horisontissa. Kallistuma voidaan määritellä lausekkeella

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{{R}_{\text{E}}}{{\mu }_{0}}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

missä h on havaitsijan korkeus Maan pinnalta, μ ilman taitekerroin havaitsijan korkeudella ja μ₀ taitekerron maan pinnalla.

Valon taittuminen voidaan laskea integraalilla

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

missä ${\displaystyle \phi \,\!}$ on valonsäteen ja Maan keskipisteen kautta kulkevan suoran välinen kulma. Kulmien ψ ja ${\displaystyle \phi \,\!}$ välillä on yhteys

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

Paljon yksinkertaisemmin voidaan likiarvoja laskea Andrew T. Youngin esittämällä tavalla käyttämällä muutoin geometrisen mallin mukaisia kaavoja mutta korvaamalla Maan säde R_E vakiolla R = 7/6 R_E. Tällöin horisontin etäisyys on[4]

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

Kun Maan säde on 6371 km, ja kun d ilmoitetaan kilometreinä ja h metreinä, saadaan

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$.

mikäli d esitetään mailena ja h jalkoina on kaava muotoa,

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

Youngin kaavan mukaiset tulokset ovat hyvin lähellä Sweerin kaavan mukaisia ja tarpeeksi tarkkoja moniin tarkoituksiin.