Homotopia

Homotooppisuus on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle.[1] Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos ${\displaystyle f_{1}}$ ja ${\displaystyle g_{1}:X\to Y}$ ovat homotooppisia ja ${\displaystyle f_{1},g_{2}:Y\to Z}$ ovat homotooppisia, on näiden yhdistetyt kuvaukset ${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}}$ ja ${\displaystyle g_{2}\circ g_{1}:X\to Y}$ myös homotooppisia.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotooppisia, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit homologiaryhmien välille ovat samat: ${\displaystyle H_{n}(f)=H_{n}(g):H_{n}(X)\to H_{n}(y)}$ kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, kuvaukset f ja g indusoivat saman ryhmähomomorfismin homotopiaryhmien välille: ${\displaystyle \pi _{n}(f)=\pi _{n}(g):\pi _{n}(X)\to \pi _{n}(y)}$.

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

Upotukset ${\displaystyle f,g\colon Y\to X}$ ovat isotooppisia, jos on olemassa upotus ${\displaystyle H\colon Y\times I\to X\times I}$ siten että ${\displaystyle H(x,t)=(h(x,t),t)}$, ${\displaystyle H(x,0)=(f(x),0)}$ ja ${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$.