Homologia

Olkoon ${\displaystyle X}$ avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi ${\displaystyle A}$, joka sisältää jotain tietoa ${\displaystyle X}$:stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja

${\displaystyle \ldots A_{n+1}\to A_{n}\ldots A_{2}\to A_{1}\to A_{0}}$,

missä ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ja ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$, niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että ${\displaystyle Im(d_{n+1})\subset Ker(d_{n})}$, ja voidaan rakentaa tekijäryhmä ${\displaystyle Ker(d_{n})/Im(d_{n+1})}$, jonka sanotaan olevan ${\displaystyle n}$. homologiaryhmä ${\displaystyle X}$:stä.

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi ${\displaystyle n}$-simpleksi ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ on joukko vektoreita ${\displaystyle n}$-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa

${\displaystyle \Sigma _{n}=\{(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\sum _{i}\lambda _{i}\leq 1,\lambda _{i}\geq 0\},}$

ja ${\displaystyle n}$-simpleksi ${\displaystyle \sigma }$ topologisessa avaruudessa ${\displaystyle X}$ on jatkuva kuvaus ${\displaystyle \Sigma _{n}}$:stä ${\displaystyle X}$:ään:

${\displaystyle \sigma$ :\Sigma _{n}\to X.}

${\displaystyle \sigma }$:n reuna ${\displaystyle d\sigma }$ on määritelty formaaliksi summaksi ${\displaystyle \sigma }$ rajoitettu ${\displaystyle \Sigma _{n}}$:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos ${\displaystyle X}$ on viiva ${\displaystyle [0,1]}$, niin silloin ${\displaystyle \Sigma _{1}\subset X}$ ja ${\displaystyle d\Sigma _{1}=(1)-(0)}$. Olkoon ${\displaystyle \Lambda }$ rengas. Tällöin voidaan konstruoida ${\displaystyle \Lambda }$-moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki ${\displaystyle n}$-simpleksejä ${\displaystyle X}$:ssä ${\displaystyle C_{n}}$. Nyt meillä on ${\displaystyle \Lambda }$-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta ${\displaystyle Im(d_{n+1})}$ sanotaan ${\displaystyle n}$-reunoiksi ${\displaystyle B_{n}}$ ja kuvausta ${\displaystyle Ker(d_{n})}$ sanotaan ${\displaystyle n}$-sykleiksi ${\displaystyle Z_{n}}$. ${\displaystyle X}$:n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten ${\displaystyle Z_{*}/B_{*}}$ (eli ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$ jokaiselle ${\displaystyle n}$:lle).

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono

${\displaystyle \ldots (\alpha$ :)A\to (\beta :)B\to C\ldots } ,

missä ${\displaystyle Im(\alpha )=Ker(\beta )}$. Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

${\displaystyle 0\to A\to 0,}$

eli ${\displaystyle A=0}$;

${\displaystyle 0\to A\to B\to 0,}$

eli ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat isomorfisia.

Jos ${\displaystyle A_{*}}$, ${\displaystyle B_{*}}$, ja ${\displaystyle C_{*}}$ ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono

${\displaystyle 0\to A_{*}\to B_{*}\to C_{*}\to 0}$

eli

${\displaystyle 0\to A_{n}\to B_{n}\to C_{n}\to 0}$

jokaiselle ${\displaystyle n}$:lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

${\displaystyle \ldots H_{n+1}(C)\to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\ldots .}$

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna ${\displaystyle H_{*}}$ on kovariantti funktori. Siis jos ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ovat samassa kategoriassa ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ja ${\displaystyle f:X\to Y}$ on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa ${\displaystyle H_{*}(f)}$ vie ${\displaystyle H_{*}(X)}$:n ${\displaystyle H_{*}(Y)}$:iin. Usein ${\displaystyle H_{*}(f)}$ kirjoitetaan ${\displaystyle f_{*}}$.

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan. Jos ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{n}\sigma _{i}}$ on ketju jossain topologisessa avaruudessa ${\displaystyle X}$, ja ${\displaystyle f:X\to Y}$ on jatkuva kuvaus, niin summa ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{n}f\circ \sigma _{i}}$ on ketju ${\displaystyle Y}$:ssä. Näin ${\displaystyle f}$:stä tule homomorfismi ${\displaystyle f_{*}:H_{*}(X)\to H_{*}(Y)}$.

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori ${\displaystyle H^{*}}$ on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 874–876. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.

• Allen Hatcher: Algebraic Topology