Hilbertin ongelmat

Hilbertin ongelmat on 23 matemaattisen ongelman luettelo, jotka saksalainen matemaatikko David Hilbert esitteli Pariisin matemaatikkokonferenssissa vuonna 1900. Tarkkaan ottaen konferenssiesitelmässä olivat ongelmat nro 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ja 22; täydellinen luettelo julkaistiin myöhemmin.

Luettelo probleemoista

Hilbertin 23 probleemaa olivat seuraavat:

Numero	Lyhyt selostus	Nykyinen tila	Ratkaistu vuonna
1.	Kontinuumihypoteesi: onko olemassa joukkoja, joiden mahtavuus (kardinaliteetti) on aidosti suurempi kuin kokonaislukujen joukon mutta aidosti pienempi kuin reaalilukujen joukon?	On osoitettu mahdottomaksi todistaa hypoteesia oikeaksi tai vääräksi Zermelon Fraenkelin joukko-opin aksioomien avulla, myöskään siinä tapauksessa, että lisäksi käytetään valinta-aksioomaa (edellyttäen, että Zermelon-Fraenkelin joukko-oppi itsessään on ristiriidaton). Ei olla yksimielisiä siitä, voidaanko ongelma täten katsoa ratkaistuksi.	1963
2.	Lukuteorian aksioomien todistaminen ristiriidattomaksi.	Ei ole yksimielisyyttä siitä, ovatko Gödel ja Gentzen ratkaisseet ongelman sellaisena kuin Hilbert sen esitti. Gödelin vuonna 1931 todistama epätäydellisyyslause osoitti, ettei niiden ristiriidattomuutta voi todistaa aritmetiikan itsensä avulla. Gentzen todisti vuonna 1936, että aritmetiikan ristiriidattomuus seuraa siitä, että ordinaali ε₀ on hyvin määritelty.	1936?
3.	Voidaanko kahdesta tilavuudeltaan yhtäsuuresta monitahokkaasta toinen aina jakaa äärelliseen määrään osia siten, että kokoamalla ne yhteen toisella tavalla niistä voidaan saada toinen alkuperäisistä monitahokkaista?	Ratkaistu. Tulos: ei voida, todistettu Dehnin invarianttien avulla.	1900
4.	Kaikkien sellaisten metriikkojen konstruointi, joissa viivat ovat geodeettisia viivoja	Liian epämääräisesti muotoiltu, jotta voitaisiin sanoa, onko ratkaisu vai ei. [n 1]	–
5.	Ovatko kaikki jatkuvat ryhmät samalla Lien ryhmiä?	Riippuen siitä, miten alkuperäinen ongelma tulkitaan, Andrew Gleasonin voidaan katsoa ratkaisseen sen. Jos se kuitenkin katsotaan Hilbert-Smithin konjektuurin vaihtoehtoiseksi muotoiluksi, se on edelleen ratkaisematta.	1953?
6.	Koko fysiikan aksiomatisointi	Osittain ratkaistu. [1] [2] [3] [n 2]	–
7.	Onko a^b aina transkendenttiluku, jos a on algebrallinen mutta ei 0 eikä 1 ja b irrationaalinen algebrallinen luku?	Ratkaistu. Tulos:on, tämän osoitti Gelfondin lause.	1935
8.	Riemannin hypoteesi: onko Riemannin zeeta-funktion kaikkien epätriviaalien nollakohtien reaaliosa ½? Lisäksi muita alkulukuihin liittyviä ongelmia kuten Goldbachin konjektuuri ja onko alkulukupareja äärettömän monta.	Ratkaisematta.	–
9.	Etsittävä mahdollisimman yleinen muoto neliönjäännöslauseelle missä tahansa algebrallisessa lukukunnassa	Osittain ratkaistu.[n 3]	–
10.	Etsittävä algoritmi, jolla mistä tahansa polynomimuotoisesta kokonaislukukertoimisesta Diofantoksen yhtälöstä voidaan selvittää, onko sillä kokonaislukuratkaisuja.	Ratkaistu. Tulos: mahdotonta, Matiyasevichin lauseesta seuraa, ettei sellaista algoritmia ole olemassa.	1970
11.	Neliömuotojen ratkaiseminen algebrallisten numeeristen kerrointen avulla.	Osittain ratkaistu.	–
12.	Rationaalilukujen joukon Abelin laajennuksia koskevan Kroneckerin–Weberin lauseen yleistäminen koskemaan mitä tahansa kantana käytettävää lukujoukkoa.	Ratkaisematta.	–
13.	Voidaanko kaikki seitsemännen asteen yhtälöt ratkaista käyttämällä kahden muuttujan jatkuvia funktioita?	Ongelman ratkaisi osittain Vladimir Arnold Andrei Kolmogorovin tutkimusten nojalla. [n 5]	1957
14.	Onko polynomirenkaan algebrallisen ryhmän invarianttiryhmä aina äärellisesti generoitu?	Ratkaistu. Tulos: ei ole, Masayoshi Nagata konstruoi vastaesimerkin.	1959
15.	Schubertin enumeratiivisen kalkyylin täsmällinen perusta.	Osittain ratkaistu.	–
16.	Miten reaalisen algebrallisen käyrän ja rajaympyrän ovaalit sijoittuvat toistensa suhteen tasossa?	Ratkaisematta.	–
17.	Definiittisten rationaalifunktioiden esittäminen neliöiden summien osamääränä	Ratkaistu. Tulos: Tarpeellisten neliöllisten termien lukumäärälle löydetty yläraja.	1927
18.	(a) Onko olemassa monitahokas, jollaisilla kolmiulotteinen avaruus voidaan täyttää vain anisohedraalisesti (niin, etteivät eri monitahokkaiden särmät ole yhdensuuntaisia)? (b) Mikä on tiivein tapa, jolla tila voidaan täyttää palloilla?	(a) Ratkaistu. Tulos: kyllä (osoittanut Karl Reinhardt. (b) Ratkaistu tietokoneen avulla. Tulos: tiiveimmät pakkaukset ovat kuutiollinen tiivispakkaus (pintakeskinen kuutiollinen) ja heksagonaalinen tiivispakkaus, joiden kummankin täyttöaste on noin 74 %. Täten Keplerin konjektuuri voitiin todistaa oikeaksi.[n 6]	(a) 1928 (b) 1998
19.	Ovatko Lagrangen optimointitehtävien ratkaisut aina analyyttisia funktioita?	Ratkaistu. Tulos: ovat, minkä todisti Ennio de Giorgi ja hänestä riippumatta toisella tavalla John Forbes Nash.	1957
20.	Onko kaikilla tietyt reunaehdot täyttävillä variaatiolaskennan probleemoilla ratkaisu?	Ratkaistu. Merkittävä tutkimusalue koko 1900-luvulla, huipentui epälineaarisen tapauksen ratkaisuun.	–
21.	Onko aina olemassa lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on annettu monodromiryhmä?	Ratkaistu. Tulos: Ei, sillä on mahdollista luoda tilanne jolloin väittämä ei pidä paikkaansa.	–
22.	Analyyttisten relaatioiden yhtenäistäminen automorfifunktioiden avulla	Ratkaistu	–
23.	Variaatiolaskennan jatkokehitys	Ratkaisematta.	–

Huomautukset

Grayn mukaan suurimmaksi osaksi ratkaistu. Osa ei täysin määritelty, mutta tutkimus on kehittynyt siten, että se voitaisiin katsoa "ratkaistuksi". Grayn mukaan neljäs probleema on liian epämääräinen, jotta voitaisiin sanoa, onko se ratkaistu.
Yrityksen koko fysiikan aksiomatisoimiseksi voidaan katsoa merkitsevän samaa, mitä myöhemmin on alettu kutsua kaiken teorian etsimiseksi.
Ongelman 9 ratkaisi Emil Artin vuonna 1927 kaikkien sellaisten kuntien osalta, jotka ovat rationaalilukujen joukon Abelin laajennuksia; ei-abelilaisten kuntien osalta asia on ratkaisematta, mikäli tämän on katsottava koskevan myös niitä
D. Hilbert, "¨Uber die Gleichung neunten Grades", Math. Ann. 97 (1927), 243–250
Ei ole vaikea osoittaa, että ongelmalla on osittainen ratkaisu yksiarvoisten analyyttisten funktioiden avaruudessa (Raudenbush). Jotkut kirjoittavat väittävät, että Hilbert tarkoitti ratkaisua moniarvoisten algebrallisten funktioiden joukossa, mikä olisi ollut jatkoa hänen omalle algebrallisten funktioiden tutkimuksilleen ja samalla laajennus Galois'n teorialle (esim. Abhyankar, Shreeram S. Abhyankar: Hilbert's Thirteenth Problem, Vitushkin, A. G. Vitushkin: On Hilbert's Thirteenth Problem and related questions, Chebotarev (N. G. Chebotarev, "On certain questions of the problem of resolvents") and others). It appears from one of Hilbertin papers [n 4] that this was his original intention for the problem. Hilbertin sanoin: "...Existenz von algebraischen Funktionen...", siis "...algebrallisten funktioiden olemassaolo...". Tässä muodossa ongelma on edelleen ratkaisematta.
Gray listasi 18. ongelman avoimeksi vuonna 2000 ilmestyneessä teoksessa, koska pallojen pakkausongelma (Keplerin konjektuuri) oli ratkaisematta, mutta ratkaisu on sittemmin löydetty (katso viite alla).

Lähteet

Koji Nagata "There is no axiomatic system for the quantum theory" International Journal of Theoretical Physics, Volume 48, Issue 12 (2009), Page 3532--3536, DOI 10.1007/s10773-009-0158-z.
Koji Nagata and Tadao Nakamura "Can von Neumann's theory meet the Deutsch-Jozsa algorithm?" International Journal of Theoretical Physics, Volume 49, Issue 1 (2010), Page 162--170, DOI 10.1007/s10773-009-0189-5.
Koji Nagata, Chang-Liang Ren, and Tadao Nakamura "Whether quantum computation can be almighty" Advanced Studies in Theoretical Physics, Volume 5, Number 1, (2011), Page 1--14.

Aiheesta muualla

Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 844–858. "Hilbert", "Invarianssiteoria", "Hilbertin Zahlbericht", "Geometrian perusteet", "Hilbertin probleemat", "Hilbert ja analyysi", "Waringin probleema ja Hilbertin vuoden 1909 jälkeiset työt". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.

Hilbertin ongelmat

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Grayn mukaan suurimmaksi osaksi ratkaistu. Osa ei täysin määritelty, mutta tutkimus on kehittynyt siten, että se voitaisiin katsoa "ratkaistuksi". Grayn mukaan neljäs probleema on liian epämääräinen, jotta voitaisiin sanoa, onko se ratkaistu.

[5] Yrityksen koko fysiikan aksiomatisoimiseksi voidaan katsoa merkitsevän samaa, mitä myöhemmin on alettu kutsua kaiken teorian etsimiseksi.

[6] Ongelman 9 ratkaisi Emil Artin vuonna 1927 kaikkien sellaisten kuntien osalta, jotka ovat rationaalilukujen joukon Abelin laajennuksia; ei-abelilaisten kuntien osalta asia on ratkaisematta, mikäli tämän on katsottava koskevan myös niitä

[7] D. Hilbert, "¨Uber die Gleichung neunten Grades", Math. Ann. 97 (1927), 243–250

[8] Ei ole vaikea osoittaa, että ongelmalla on osittainen ratkaisu yksiarvoisten analyyttisten funktioiden avaruudessa (Raudenbush). Jotkut kirjoittavat väittävät, että Hilbert tarkoitti ratkaisua moniarvoisten algebrallisten funktioiden joukossa, mikä olisi ollut jatkoa hänen omalle algebrallisten funktioiden tutkimuksilleen ja samalla laajennus Galois'n teorialle (esim. Abhyankar, Shreeram S. Abhyankar: Hilbert's Thirteenth Problem, Vitushkin, A. G. Vitushkin: On Hilbert's Thirteenth Problem and related questions, Chebotarev (N. G. Chebotarev, "On certain questions of the problem of resolvents") and others). It appears from one of Hilbertin papers [n 4] that this was his original intention for the problem. Hilbertin sanoin: "...Existenz von algebraischen Funktionen...", siis "...algebrallisten funktioiden olemassaolo...". Tässä muodossa ongelma on edelleen ratkaisematta.

[9] Gray listasi 18. ongelman avoimeksi vuonna 2000 ilmestyneessä teoksessa, koska pallojen pakkausongelma (Keplerin konjektuuri) oli ratkaisematta, mutta ratkaisu on sittemmin löydetty (katso viite alla).

[2] Koji Nagata "There is no axiomatic system for the quantum theory" International Journal of Theoretical Physics, Volume 48, Issue 12 (2009), Page 3532--3536, DOI 10.1007/s10773-009-0158-z.

[3] Koji Nagata and Tadao Nakamura "Can von Neumann's theory meet the Deutsch-Jozsa algorithm?" International Journal of Theoretical Physics, Volume 49, Issue 1 (2010), Page 162--170, DOI 10.1007/s10773-009-0189-5.

[4] Koji Nagata, Chang-Liang Ren, and Tadao Nakamura "Whether quantum computation can be almighty" Advanced Studies in Theoretical Physics, Volume 5, Number 1, (2011), Page 1--14.