Hila (matematiikka)

Osittain järjestetty joukko (L, ≤) on hila, jos se toteuttaa kaksi seuraavaa aksioomaa.

Supremumin olemassaolo

${\displaystyle \forall a,b\in L}$, on olemassa ${\displaystyle \sup\{a,b\}}$ (alkioiden a ja b supremum), voidaan merkitä myös: ${\displaystyle a\lor b}$ (kutsutaan myös pienimmäksi ylärajaksi).

Infimumin olemassaolo

${\displaystyle \forall a,b\in L}$, on olemassa ${\displaystyle \inf\{a,b\}}$ (alkioiden a ja b infimum), voidaan merkitä myös: ${\displaystyle a\land b}$ (kutsutaan myös suurimmaksi alarajaksi).

Koska ${\displaystyle \sup\{a,b\}=a\lor b}$ ja ${\displaystyle \inf\{a,b\}=a\land b}$ ovat olemassa kaikille alkioille ${\displaystyle a,b\in L}$, niin tällöin ${\displaystyle \lor }$ and ${\displaystyle \land }$ ovat binäärisiä laskutoimituksia.

Algebrallinen struktuuri (L, ${\displaystyle \lor ,\land }$), jossa L on joukko ja ${\displaystyle \lor }$, sekä ${\displaystyle \land }$ ovat laskutoimituksia joukossa L, on hila, jos se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla alkioilla ${\displaystyle a,b,c\in L}$.

Seuraavaksi esitettävät idempotenttisuuslait usein lisätään edellä olevaan määritelmään, vaikka niiden tulokset seuraavat absorptiolaeista.

Idempotettisuuslait

${\displaystyle a\lor a=a}$,

${\displaystyle a\land a=a}$.

Hilojen algebrallista esitystapaa käytetään paljon universaalialgebrassa.

Järjestysteoreettisesti määritelty hila määrittelee kaksi binääristä laskutoimitusta ${\displaystyle \lor }$ ja ${\displaystyle \land }$. Koska vaihdanta-, liitäntä- ja absorptiolait voidaan helposti todistaa näille laskutoimituksille, niin (L, ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \land }$) on hila algebralliselta näkökannalta. Järjestys voidaan palauttaa algebrallisesta struktuurista sillä a ≤ b jos ja vain jos a = a∧b.

Käänteinen on myös totta. Olkoon (L, ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \land }$) hila, ja määritellään relaatio ≤ joukossa L ehdosta

a ≤ b jos ja vain jos a = a${\displaystyle \land }$b, tai

a ≤ b jos ja vain jos b = a${\displaystyle \lor }$b,

kaikille ${\displaystyle a,b\in L}$. Absorptiolakien nojalla molemmat määritelmät ovat yhtäpitäviä. Nyt voidaan todistaa, että relaatio ≤ on osittainen järjestys ja että ${\displaystyle \sup\{a,b\}=a\lor b}$ ja ${\displaystyle \inf\{a,b\}=a\land b}$.

Koska eri määritelmät ovat yhtäpitäviä, voidaan puhua joko hilasta (L,≤) tai hilasta (L, ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \land }$) riippuen käyttötarkoituksesta.

• Ontologia (tietojenkäsittelytiede)

• Mika Eronen: Hilateoriaa. Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, moniste B50 1999.

• J.B. Nation, Notes on Lattice Theory, julkaisemattomat kurssimuistiinpanot hilateoriasta englanniksi