Hermitoitu matriisi

Hermitoitu matriisi[1] (myös konjugaattitranspoosi, adjungoitu matriisi tai adjungaatti, engl. adjoint) on annetun matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi. Toisin sanoen, jos matriisi $A=(a_{ij})\,$ kuuluu renkaaseen ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ ja ${\bar {z}}$ on kompleksiluvun $z$ kompleksikonjugaatti, niin $A$ :n hermitoitu matriisi on

A^{*}=({\bar {a}}_{ji})

.

Etenkin kvanttimekaniikassa on tavallista merkitä hermitoitua matriisia "tikarilla" (dagger): $A^{\dagger }$ . Hermitointi voidaan myös periaatteessa kirjoittaa "auki" kompleksikonjugointina ja transponointina: ${\bar {A}}^{T}$ . Näin toimitaan kuitenkin harvoin, sillä hermitoiduille matriiseille on niiden yleisyyden takia käytännöllistä käyttää omaa merkintää.

Itseadjungoitu matriisi

Pääartikkeli: Hermiittinen matriisi

Hermitoitujen matriisien tärkeän erikoistapauksen muodostavat hermiittiset eli itseadjungoidut matriisit (engl. self adjoint). Ne ovat neliömatriiseja, joille

A^{*}=A\,

.

Jos $A$ on reaalinen (eli kaikki sen alkiot ovat reaalilukuja), itseadjungoituvuus on sama kuin matriisin symmetrisyys. Itseadjungoidulla matriisilla on sovellusten kannalta tärkeitä ominaisuuksia:

Olkoon $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ sisätulo. Matriisi $A$ on itseadjungoitu jos ja vain jos $\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle$ .
Itseadjungoidun matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
Itseadjungoitu matriisi on unitaarisesti diagonalisoituva.
Itseadjungoidun matriisin ominaisvektoreista voidaan valita $\mathbb {C} ^{n}$ :n ortonormaali kanta.

Lähteet

Esko Valtanen: ”Matriisilaskenta”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 126. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9767-28-2.

Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Esko Valtanen: ”Matriisilaskenta”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 126. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9767-28-2.