Hausdorffin mitta

Olkoon ${\displaystyle (X,d)}$ separoituva metrinen avaruus ja ${\displaystyle 0\leq s<\infty }$. Määritellään jokaisella ${\displaystyle \delta >0}$ funktio ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(A)=\inf\{\sum _{i\in I}d(E_{i})^{s}:E_{i}\subset X{\mbox{ kaikilla }}i\in I,\,I{\mbox{ on numeroituva}},\,d(E_{i})\leq \delta ,\,A\subset \bigcup _{i\in I}E_{i}\}.}$

Luku ${\displaystyle d(E_{i})=\sup\{d(x,y):x,y\in E_{i}\}}$ on joukon halkaisija. Voidaan osoittaa, että kaikilla ${\displaystyle \delta >0}$ funktio ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ on ulkomitta X:ssä. Huomataan, että jos ${\displaystyle 0<\delta _{1}\leq \delta _{2}}$, niin ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta _{2}}^{s}(A)\leq {\mathcal {H}}_{\delta _{1}}^{s}(A)}$ kaikilla ${\displaystyle A\subset X}$. Näin ollen rajafunktio ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=\lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(A),}$

on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan (s-ulotteiseksi) Hausdorffin ulkomitaksi. Se on myös ulkomitta, mikä voidaan osoittaa käyttämällä sitä tietoa, että ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ on ulkomitta kaikilla ${\displaystyle \delta >0}$. Hausdorffin ulkomitan rajoittumaa ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$-mitallisiin joukkoihin kutsutaan Hausdorffin mitaksi, joka on Carathéodoryn lauseen nojalla mitta.

Helposti nähdään, että ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}}$ on lukumäärämitta.

Jos ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle \lambda >0}$, niin ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(\lambda A)=\lambda ^{s}{\mathcal {H}}^{s}(A)}$, missä joukko ${\displaystyle \lambda A=\{\lambda x:x\in A\}}$.

Jos ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ on affiini isometria, niin ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(L(A))={\mathcal {H}}^{s}(A)}$.

Voidaan osoittaa, että suoristuvan kaaren ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} ^{2}}$ 1-ulotteinen Hausdorffin ulkomitta on sama kuin sen pituus. Tämä esimerkiksi erottuu Hausdorffin ulkomitan eduksi Lebesguen ulkomittaan nähden, sillä suoristuvan kaaren 1-ulotteinen Lebesguen ulkomitta on usein ääretön ja 2-ulotteinen Lebesguen ulkomitta 0.

Voidaan osoittaa, että ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ on rajoitettuna ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$-mitallisiin joukkoihin säännöllinen Borelin mitta.

Koska Euklidinen avaruus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ on separoituva (${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ on numeroituva ja sen sulkeuma on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), niin voimme määritellä myös siellä s-ulotteisen Hausdorffin ulkomitan. Kuitenkin jos valitsemme ulottovuudeksi s = n, niin n-ulotteinen Hausdorffin ulkomitta ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$ ei ole sama funktio kuin n-ulotteinen Lebesguen ulkomitta ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{n}}$. Kuitenkin voimme osoittaa, että on olemassa vain dimensiosta n riippuva positiivinen vakio ${\displaystyle c(n)\in \mathbb {R} }$, jolla ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}=c(n){\mathcal {L}}^{n}}$. Joskus itse asiassa Hausdorffin ulkomitta määritellään normeeramalla heti se tällä vakiolla. Voidaan osoittaa, että dimensiolla n kyseinen vakio

${\displaystyle c(n)=2^{-n}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},}$

missä ${\displaystyle \Gamma }$ on ns. (reaalinen) Gamma-funktio: ${\displaystyle \Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{t-1}\,{\mbox{d}}x}$, ${\displaystyle 0<t<\infty }$. Tästä laskemalla saadaan esimerkiksi, että ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ssä vakio c(1) = 1, joten ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}={\mathcal {L}}^{1}}$.

Hausdorffin dimensio

Lebesguen mitta avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ on kehitetty mittamaan kappaleita, joilla on intuitiivisesti nähtynä "n-ulotteista" massaa. Lebesguen mitta näkee joukkojen kokoa dimensioonsa suhteutettuna ja ilmoittaa sen arvossaan. Esimerkiksi n-ulotteinen Lebesguen mitta antaa n-ulotteiselle kuulalle positiivisen ja äärellisen mitan. Tämä on odotettavissa intuitiivisestikin. Toisaalta jos valitsemme esimerkiksi m-ulotteisen levyn, missä m < n, niin n-ulotteinen Lebesguen mitta antaa heti tälle joukolle mitakseen nollan. Voisi siis ajatella, että tutkittu pinta ei sisällä n-ulotteista massaa lainkaan. Kuitenkin jos mittaamme tätä pintaa m-ulotteisella Lebesguen mitalla, voimme saada positiivista ja äärellistä mittaa jos annettu levy on suorassa. Vastaavasti kääntäen voimme yrittää taas mitata m-ulotteisella Lebesguen mitalla n-ulotteista kuulaa, missä edelleen m < n, ja nyt saamme kuulan mitaksi äärettömän. Nyt voisi siis ajatella, että n-ulotteinen kuulan sisältää äärettömän paljon m-ulotteista massaa. Intuitiivisesti tätä voisi ajatella sillä, että m-ulotteisia "levyjä" pitäisi pinota jopa ylinumeroituvan monta kappaletta, jotta ne täyttäisivät koko n-ulotteisen kuulan. Tällöin siis myös m-ulotteista mittaa kertyisi levyjen myötä äärettömän paljon.

Hausdorffin mitalla esiintyy tällainen vastaava piirre. Voimme aina löytää jonkin optimin "dimension", jolla annettua joukkoa kannattaa mitata mahdollisen äärellisen ja positiivisen mitan toivossa. Jokaiselle joukolle tämä dimensio on yksikäsitteinen ja se intuitiivisesti kuvaa joukon geometrista kokoa. Erona nyt vain Lebesguen mitan tapaukseen on se, että tämä dimensio voi olla muukin kuin kokonaisluku.

Täsmällisemmin tämän dimension määrittely alkaa seuraavasta ominaisuudesta:

Voidaan osoittaa, että jokaisella ${\displaystyle A\subset X}$ on olemassa yksikäsitteinen luku ${\displaystyle d\,}$, jolla

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,&{\textrm {jos}}\ s<d\\0,&{\textrm {jos}}\ s>d.\end{matrix}}\right.}$

Tätä yksikäsitteistä lukua d kutsutaan joukon A Hausdorffin dimensioksi. Formaalimmin määriteltynä joukon A Hausdorffin dimensio on luku

${\displaystyle {\mbox{dim}}_{\mathcal {H}}\,A=\inf\{s:{\mathcal {H}}^{s}(A)=0\}.}$

Tämän luvun olisi voinut myös määritellä lukuina ${\displaystyle \inf\{s:{\mathcal {H}}^{s}(A)<\infty \}}$, ${\displaystyle \sup\{s:{\mathcal {H}}^{s}(A)>0\}}$ ja ${\displaystyle \sup\{s:{\mathcal {H}}^{s}(A)=\infty \}}$.

Erityisesti siis tiedämme, että jos ${\displaystyle 0<{\mathcal {H}}^{s}(A)<\infty }$, niin ${\displaystyle s=\dim _{\mathcal {H}}A}$.

Tästä seuraa, että tyypillisten n-ulotteista Lebesguen mitan massaa sisältävien joukkojen Hausdorffin dimensio on yhtä kuin n, sillä aikaisemmin totesimme, että on olemassa positiivinen vakio ${\displaystyle c(n)\in \mathbb {R} }$, jolla ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}=c(n){\mathcal {L}}^{n}}$.

Joukon Hausdorffin dimensio voi olla myös muukin kuin luonnollinen luku. Esimerkiksi on olemassa joukkoja, kuten esimerkiksi fraktaalit, joilla usein Hausdorffin dimensio on yli niiden topologisen dimension. Esimerkiksi Cantorin joukon topologinen dimensio on 0, mutta voidaan osoittaa, että sen Hausdorffin dimensio on luku ${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}\approx 0{,}63>0.}$