Harmoninen voima

Kierrejousi

Animoitu heiluri, jossa näkyvät nopeus- ja kiihtyvyysvektorit (v ja a)

Jos kierrejousta venytetään tai puristetaan kokoon, se pyrkii palautumaan tasapainoasemaansa. Ellei tämä venymä tai puristuma ole kovin suuri, tämä palauttava voima on Hooken lain mukaan suoraan verrannollinen jousen pituuden muutokseen.[1] Tähän perustuu myös jousivaa'an käyttö punnistemiseen: venyttävänä voimana toimii punnittavan kappaleen paino, jonka aikaansaama venymä on suoraan verrannollinen kappaleen painoon.

Myös soittimien kielet pyrkivät palautumaan tasapainoasemaansa voimalla, joka on käytännöllisesti katsoen suoraan verrannollinen poikkeamaan.[3]

Kiinteillä aineilla on muotokimmoisuutta, toisin sanoen ne pyrkivät palautumaan entiseen muotoonsa, kun niiden muotoa muuttanut voima on lakannut vaikuttamasta. Tämä palauttava voima on useissa tapauksissa ainakin likimain harmoninen voima. Esimerkiksi venytetty tai puristettu sauva pyrkii palautumaan alkuperäiseen pituuteensa voimalla, joka on suoraan verrannollinen pituuden muutokseen ja myös sen poikkipinta-alaan, mutta kääntäen verrannollinen sen pituuteen.[5] Palauttava voima on tällöin

${\displaystyle F=E{\frac {A}{l}}\Delta l}$

missä A on sauvan poikkipinta-ala, l sen pituus tasapainotilanteessa ja ${\displaystyle \Delta l}$ sen pituuden muutos. Suure E on materiaalista riippuva vakio, jota sanotaan kimmomoduuliksi.[5] Kimmomoduulin ja sauvan jousivakion välillä vallitsee siis yhteys

${\displaystyle k=E{\frac {A}{l}}}$

Kiteissä atomit ovat jatkuvassa värähdysliikkeessä, mutta ne pyrkivät palaamaan tasapainokohtiinsa voimalla, joka on verrannollinen etäisyyteen tästä kohdasta.[3]

Harmoniselle voimalle analoginen on myös harmoninen momentti, jollainen vaikuttaa esimerkiksi heilurissa, edellyttäen ettei sen poikkeama pystysuorasta asennosta ei ole kovin suuri. Heiluri on tasapainossa, kun se osoittaa suoraan alaspäin. Jos sen suunta poikkeaa pystysuorasta kulman φ verran, painovoima pyrkii palauttamaan sen pystysuoraan asentoon saaden aikaan palauttavan momentin, joka on verrannollinen kulman φ siniin. Kun kulma on tarpeeksi pieni (alle 15 astetta), sen sini on likipitäen suoraan verrannollinen kulman suuruuteen. Momentin ja kiertokulman suhde on tällöin vakio, jota sanotaan direktiovakioksi.[6]

Oletetaan, että jousen venymä alkutilanteessa on x₁. Kun venymä on pienentynyt arvoon x₂, harmoninen jousivoima on tehnyt työn

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}kx_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}kx_{2}^{2}}$[1]

Kun jousi on palautunut tasapainoasemaansa saakka ei x₂ = 0, tehty työ on

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}kx_{1}^{2}}$.

Venyneen jousen potentiaalienergia, kimmoinen eli elastinen potentiaalienergia, on yhtä suuri kuin jousivoiman tekemä työ sen palautuessa tasapainoasemaansa, eli

${\displaystyle E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$,

missä x on jousen venymä.[1]

Kitkaton jousi-massasysteemi on vaimenematon harmoninen värähtelijä.

Jos harmoninen voima on ainoa johonkin kappaleeseen kohdistuva voima, sen liikettä kuvaa liikeyhtälö

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}$,

missä x on kappaleen paikkavektori, m sen massa ja k jousivakio.[3] Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut ovat muotoa

${\displaystyle x=Asin{{\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\theta _{0}}=Asin{\omega t+\theta _{0}}}$,

missä vakiot A ja ${\displaystyle \theta _{0}}$ voivat k:n ja m:n arvoista riippumatta olla minkä suuruisia tahansa.

Liike, jossa kappaleen sijainti x muuttuu ajan funktiona tämän lausekkeen osoittamalla tavalla, on vaimenematonta harmonista värähdysliikettä. Vakio A on värähdysliikkeen amplitudi, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ on liikkeen kulmataajuus, ${\displaystyle \omega t}$ sen vaihekulma ajanhetkellä t ja ${\displaystyle \theta _{0}}$ sen vaihekulma hetkellä t = 0 eli alkuvaihekulma.[3]

Koska sinifunktio on jaksollinen, vaimenemattomassa harmonisessa värähdysliikkeessä oleva kappale päätyy tasaisin väliajoin samaan paikkaan. Kahden tällaisen hetken välinen aikaero eli liikkeen jaksonaika on

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

Värähdysliikkeen taajuus on tämän käänteisarvo eli

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$[3]

Käytännössä vaimenematon harmoninen värähdysliike on kuitenkin mahdollinen vain, jos kappale saa jatkuvasti ulkoapäin lisää energiaa. Värähdysliikkeeseen nimittäin kohdistuu aina myös kitkaa ja muita vastustavia voimia, joiden vaikutuksesta mekaanistaa energiaa muuttuu koko ajan lämmöksi. Ellei ulkoista energianlähdettä ole, harmonisen voiman ja tämän vastusvoiman yhteisvaikutuksesta kappale joutuu vaimenevaan värähdysliikkeeseen.

• Harmonisen värähtelijän jaksonaika ja heilurien heilahdusajat - johtaminen kotiposti.net. Arkistoitu 18.7.2019. Viitattu 30.1.2020.