Harmoninen värähtelijä

Kitkaton jousi-massasysteemi on vaimenematon harmoninen värähtelijä.

Vaimentumattomaan harmoniseen värähtelijään ei vaikuta kitka- eikä pakkovoimaa, jolloin systeemiin vaikuttava voima on muotoa:

${\displaystyle F=-kx.}$

Newtonin 2. laki:

${\displaystyle F=ma=-kx.}$

Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx.}$

Jos määritellään ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0,}$

jonka yleinen ratkaisu on

${\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}.}$

Amplitudi A ja vaihe ${\displaystyle \phi \,}$ määritetään alkuehdosta.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:

${\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )},}$

missä ${\displaystyle \phi \,}$ on siirtynyt ${\displaystyle \pi /2\,}$ verran.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa

${\displaystyle x=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t},}$

missä ${\displaystyle C_{1}\,}$ and ${\displaystyle C_{2}\,}$ ovat vakioita, jotka voidaan määrittää alkuehdosta.

Värähtelyn taajuudeksi saadaan:

${\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}.}$

Värähtelyn nopeudeksi v ja kiihtyvyydeksi a saadaan

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi )=C_{1}\omega _{0}\cos {\omega _{0}t}-C_{2}\omega _{0}\sin {\omega _{0}t}}$ ja

${\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega _{0}^{2}x=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}t+\phi )=-C_{1}\omega _{0}^{2}\sin {\omega _{0}t}-C_{2}\omega _{0}^{2}\cos {\omega _{0}t}.}$

Värähtelijän kineettinen energia on

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}$

ja potentiaalienergia

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi ).}$

Värähtelijän potentiaalienergia on siis suoraan verrannollinen tasa­paino­pisteestä mitatun etäisyyden neliöön.

Värähtelijän potentiaali- ja kineettinen energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen, mutta niiden summa on vakio:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}.}$

Pakkovoima F_d on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja ${\displaystyle \omega \neq \omega _{0}}$, on systeemin liikeyhtälö muotoa

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=F_{0}\cos(\omega t),}$

missä F₀ on pakkovoiman amplitudi ja ${\displaystyle \omega }$ on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa

${\displaystyle x=C\cos {(\omega _{0}t-\delta )}+{\frac {F_{0}}{m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}}\cos {\omega t},}$

kun siis ${\displaystyle \omega \neq \omega _{0}}$. Jos tarkastellaan tapausta, jossa ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$, ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{2m{\omega _{0}}}}t\sin {\omega _{0}t},}$

josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan t kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys resonanssi-ilmiölle. Jos ${\displaystyle \omega }$ on hyvin lähellä arvoa ${\displaystyle \omega _{0}}$, mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}}\sin {{\frac {\omega _{0}+\omega }{2}}t}\sin {{\frac {\omega _{0}-\omega }{2}}t}.}$

Kun ${\displaystyle \omega _{0}-\omega }$ on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.

Vaimennettu jousi-massasysteemi.

Systeemin käyttäytyminen riippuu vaimennuskertoimesta ${\displaystyle \zeta }$.

Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=0,}$

missä c on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen c arvosta. Merkitään ${\displaystyle a=c/2m}$ ja ${\displaystyle b=1/2m{\sqrt {c^{2}-4mk}}}$.

Massa m on kytketty jouseen ja vaimennukseen, jonka vaimennuskerroin on B ja F on ulkoinen pakkovoima.

Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla F_d. Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t),}$

jonka ratkaisu muodostuu vaimennetun värähtelijän ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälöiden ratkaisujen summasta. Kuten aikaisemmin osoitettiin, vaimennetun värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu riippuu alkuehdoista. Epähomogeenisen liikeyhtälön yksittäisratkaisu taas ei riipu alkuehdoista, jolloin ratkaisuksi saadaan

${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi ),}$

missä

${\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}}$

ja

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right).}$

• Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä
• Oskillaattori

• M. L. Boas: Mathematical Methods in the Physical Sciences, s. 297. United States: John Wiley & Sons, 1983. ISBN 0-471-04409-1. en
• G. R. Fowles & G. L. Cassiday: Analytical Mechanics sixth edition, s. 69. United States: Brooks/Cole Pub Co, 1998. ISBN 0-03-022317-2. en
• H. D. Young & R. A. Freedman & T. R. Sandin & A. L. Ford: Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics, s. 392. United States: Addison Wesley Publishing Company, 2000. ISBN 0-201-60336-5. en

• Harmoninen värähdysliike (pdf) (Arkistoitu – Internet Archive)
• Artikkeli harmonisesta värähtelijästä Hypertextbookissa
• Animaatio vaimennetusta ja pakotetusta harmonisesta värähtelijästä (Arkistoitu – Internet Archive)