Hamiltonin operaattori

Kvanttimekaaninen Hamiltonin operaattori muodostetaan klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiosta korvaamalla paikka- ja liikemäärämuuttujat vastaavilla operaattoreilla. Paikkaesityksessä ne ovat ${\displaystyle {\hat {x}}\rightarrow {\vec {x}}}$ (paikkaoperaattori) ja ${\displaystyle {\hat {p}}\rightarrow -i\hbar \nabla }$ (liikemääräoperaattori). Hiukkaselle, jonka massa on m, Hamiltonin operaattori ${\displaystyle {\hat {H}}}$ voidaan kirjoittaa muodossa [2]

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {x}})}$,

missä ${\displaystyle \textstyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ on redusoitu Planckin vakio, ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ Laplacen operaattori ja ${\displaystyle V({\vec {x}})}$ potentiaalienergia.

Hamiltonin operaattori hallitsee aaltofunktion ${\displaystyle \Psi }$ ajanmuunnosta operoidessaan Schrödingerin yhtälössä [3] [4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi }$,

missä ${\displaystyle i}$ on imaginaariyksikkö ja ${\displaystyle t}$ aika. Näin ollen Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, jonka massa on m, voidaan potentiaalissa ${\displaystyle V({\vec {x}})}$ esittää muodossa

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V({\vec {x}})\Psi }$.